ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$, найдите $z^2$, запишите числа $z$ и $z^2$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

б) Зная, что $z = 2 — 2\sqrt{3}i$, найдите $z^2$, запишите числа $z$ и $z^2$ в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.

а) Известно, что $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$, тогда:

Первое число в тригонометрической форме:

$$z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$$ $$|z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2;$$ $$\arg(z) = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$$

Второе число в тригонометрической форме:

$$z^2 = 4i = 4(0 + 1i) = 4 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right);$$ $$|z^2| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4;$$ $$\arg(z^2) = \arccos 0 = \frac{\pi}{2};$$

Сравним модули и аргументы данных чисел:

$$\frac{|z^2|}{|z|} = \frac{4}{2} = 2;$$ $$\frac{\arg(z^2)}{\arg(z)} = \frac{\pi}{2} : \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{4}{\pi} = 2;$$

Данные числа на комплексной плоскости:

б) Известно, что $z = 2 — 2\sqrt{3}i$, тогда:

Первое число в тригонометрической форме:

$$z = 2 — 2\sqrt{3}i = 4 \left( \frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right);$$ $$|z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4;$$ $$\arg(z) = \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3};$$

Второе число в тригонометрической форме:

$$z^2 = -8 — 8i\sqrt{3} = 16 \left( -\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 16 \left( \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right);$$ $$|z^2| = \sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16;$$ $$\arg(z^2) = -\pi + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3};$$

Сравним модули и аргументы данных чисел:

$$\frac{|z^2|}{|z|} = \frac{16}{4} = 4;$$ $$\frac{\arg(z^2)}{\arg(z)} = -\frac{2\pi}{3} : \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{3}{\pi} = 2;$$

Данные числа на комплексной плоскости:

Решение задачи 34.32 с максимальной детализацией:

а) Известно, что $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$, тогда:

Представим число $z$ в тригонометрической форме.

$$z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$$

Для того чтобы представить это число в тригонометрической форме $z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, нужно найти его модуль $|z|$ и аргумент $\arg(z)$.

• Модуль числа $z$:

  Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле:

  $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

  где $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{2}$. Подставляем эти значения:

  $$|z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.$$

• Аргумент числа $z$:

  Аргумент $\arg(z)$ определяется как угол, который комплексное число $z$ образует с положительной частью оси действительных чисел. Для этого используем формулу:

  $$\arg(z) = \arctan\left( \frac{b}{a} \right)$$

  где $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$, то есть:

  $$\arg(z) = \arctan\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right) = \arctan(1).$$

  Мы знаем, что:

  $$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}.$$

  Таким образом, $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь, зная модуль и аргумент, можно записать число $z$ в тригонометрической форме:

$$z = |z| \left( \cos \arg(z) + i \sin \arg(z) \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right).$$

Вычислим $z^2$.

Чтобы найти квадрат числа $z$, используем тригонометрическую форму $z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$. Квадрат числа $z$ будет:

$$z^2 = \left( 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = 2^2 \left( \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right)$$ $$z^2 = 4 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right).$$

Модуль $|z^2|$ вычисляется как:

$$|z^2| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4.$$

Аргумент $\arg(z^2)$ равен:

$$\arg(z^2) = \frac{\pi}{2}.$$

Сравним модули и аргументы чисел $z$ и $z^2$.

• Модуль числа $z^2$ делим на модуль числа $z$:

  $$\frac{|z^2|}{|z|} = \frac{4}{2} = 2.$$

• Аргумент числа $z^2$ делим на аргумент числа $z$:

  $$\frac{\arg(z^2)}{\arg(z)} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{4}} = 2.$$

Графическое представление чисел на комплексной плоскости.

б) Известно, что $z = 2 — 2\sqrt{3}i$, тогда:

Представим число $z$ в тригонометрической форме.

$$z = 2 — 2\sqrt{3}i$$

Найдем модуль и аргумент числа $z$.

• Модуль числа $z$:

  $$|z| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4.$$

• Аргумент числа $z$:

  $$\arg(z) = \arctan\left( \frac{-2\sqrt{3}}{2} \right) = \arctan\left( -\sqrt{3} \right).$$

  Мы знаем, что:

  $$\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}.$$

  Таким образом, $\arg(z) = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь можем записать $z$ в тригонометрической форме:

$$z = 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right).$$

Вычислим $z^2$.

Для нахождения квадрата $z^2$, представленного в тригонометрической форме $z = 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right)$, мы используем формулу для квадрата:

$$z^2 = \left( 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) \right)^2 = 4^2 \left( \cos \left( 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) + i \sin \left( 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) \right)$$ $$z^2 = 16 \left( \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right).$$

Модуль $|z^2|$ равен:

$$|z^2| = \sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16.$$

Аргумент $\arg(z^2)$ равен:

$$\arg(z^2) = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}.$$

Сравним модули и аргументы чисел $z$ и $z^2$.

• Модуль числа $z^2$ делим на модуль числа $z$:

  $$\frac{|z^2|}{|z|} = \frac{16}{4} = 4.$$

• Аргумент числа $z^2$ делим на аргумент числа $z$:

  $$\frac{\arg(z^2)}{\arg(z)} = \frac{-\frac{2\pi}{3}}{-\frac{\pi}{3}} = 2.$$

Графическое представление чисел на комплексной плоскости.