ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$z=\frac{z_1}{z_2}$$$$z = \cos \frac{\pi}{2} — i \sin \frac{\pi}{2} = 0 — i \cdot 1 = -i.$$

б)

$$z = z_1^3 = 1^3 \cdot \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = \cos \pi + i \sin \pi;$$ $$$$в)

$$z = \frac{z_1^4}{z_2^3} = \frac{1^4}{1^3} \cdot \left( \cos \left( \frac{4\pi}{3} — \frac{3 \cdot 5\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{4\pi}{3} — \frac{3 \cdot 5\pi}{6} \right) \right);$$ $$$$г)

$$z=\frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}$$

Даны комплексные числа:

$$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3};$$ $$z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}.$$

а)

$$z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{1} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} — \frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{5\pi}{6} \right) \right);$$ $$z = \cos \left( -\frac{3\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{6} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right);$$ $$z = \cos \frac{\pi}{2} — i \sin \frac{\pi}{2} = 0 — i \cdot 1 = -i.$$

Ответ: $\arg z = -\frac{\pi}{2}$.

б)

$$z = z_1^3 = 1^3 \cdot \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = \cos \pi + i \sin \pi;$$ $$z = -1 + i \cdot 0 = -1.$$

Ответ: $\arg z = \pi$.

в)

$$z = \frac{z_1^4}{z_2^3} = \frac{1^4}{1^3} \cdot \left( \cos \left( \frac{4\pi}{3} — \frac{3 \cdot 5\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{4\pi}{3} — \frac{3 \cdot 5\pi}{6} \right) \right);$$ $$z = \cos \left( -\frac{7\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{7\pi}{6} \right) = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ: $\arg z = \frac{5\pi}{6}$.

г)

$$z = \frac{z_1^{31}}{z_2^{33}} = \frac{1^{31}}{1^{33}} \cdot \left( \cos \left( \frac{31\pi}{3} — \frac{33 \cdot 5\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{31\pi}{3} — \frac{33 \cdot 5\pi}{6} \right) \right);$$ $$z = \cos \left( -\frac{103\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{103\pi}{6} \right) = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ: $\arg z = \frac{5\pi}{6}$.

Даны комплексные числа:

$$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3};$$ $$z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}.$$

Давайте разберем каждый пункт задачи подробно.

а) Найти $z = \frac{z_1}{z_2}$

Для вычисления частного двух комплексных чисел в полярной форме используем следующее правило:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \left( \cos(\theta_1 — \theta_2) + i \sin(\theta_1 — \theta_2) \right),$$

где $r_1, r_2$ — модули комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, а $\theta_1, \theta_2$ — их аргументы.

Модуль $z_1$:

$$|z_1| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1.$$

Таким образом, $r_1 = 1$.

Модуль $z_2$:

$$|z_2| = \sqrt{\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1.$$

Таким образом, $r_2 = 1$.

Аргумент $z_1$ равен $\frac{\pi}{3}$, так как $z_1 = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$.

Аргумент $z_2$ равен $\frac{5\pi}{6}$, так как $z_2 = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}$.

Теперь можем найти $z = \frac{z_1}{z_2}$:

$$z = \frac{1}{1} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} — \frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} — \frac{5\pi}{6} \right) \right).$$

Вычитаем углы:

$$\frac{\pi}{3} — \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} — \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, выражение для $z$ принимает вид:

$$z = \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right).$$

Известно, что:

$$\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1.$$

Следовательно:

$$z = 0 — i \cdot 1 = -i.$$

Ответ: $\arg z = -\frac{\pi}{2}$.

б) Найти $z = z_1^3$

Для возведения комплексного числа в степень в полярной форме используется формула:

$$z_1^n = r_1^n \cdot \left( \cos(n \theta_1) + i \sin(n \theta_1) \right),$$

где $r_1$ — модуль числа $z_1$, $\theta_1$ — аргумент числа $z_1$, а $n$ — степень.

Модуль $z_1 = 1$, следовательно, $r_1^3 = 1^3 = 1$.

Аргумент $z_1 = \frac{\pi}{3}$, следовательно, $n \theta_1 = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$.

Теперь вычислим $z_1^3$:

$$z_1^3 = 1 \cdot \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \cos \pi + i \sin \pi.$$

Известно, что:

$$\cos \pi = -1, \quad \sin \pi = 0.$$

Следовательно:

$$z_1^3 = -1 + i \cdot 0 = -1.$$

Ответ: $\arg z = \pi$.

в) Найти $z = \frac{z_1^4}{z_2^3}$

Для деления степеней комплексных чисел в полярной форме используем то же правило, что и для деления двух комплексных чисел. Для этого нужно найти:

$$z = \frac{z_1^4}{z_2^3} = \frac{r_1^4}{r_2^3} \cdot \left( \cos(\theta_1 \cdot 4 — \theta_2 \cdot 3) + i \sin(\theta_1 \cdot 4 — \theta_2 \cdot 3) \right).$$

Модуль $z_1^4 = r_1^4 = 1^4 = 1$.

Модуль $z_2^3 = r_2^3 = 1^3 = 1$.

Таким образом, модуль для $z$ равен $1$.

Теперь вычислим аргумент:

$$\theta_1 \cdot 4 = 4 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3},$$ $$\theta_2 \cdot 3 = 3 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{15\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}.$$

Вычитаем аргументы:

$$\frac{4\pi}{3} — \frac{5\pi}{2} = \frac{8\pi}{6} — \frac{15\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}.$$

Теперь подставляем это значение в формулу:

$$z = \cos \left( -\frac{7\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{7\pi}{6} \right).$$

Известно, что:

$$\cos \left( -\frac{7\pi}{6} \right) = \cos \frac{5\pi}{6}, \quad \sin \left( -\frac{7\pi}{6} \right) = \sin \frac{5\pi}{6}.$$

Следовательно:

$$z = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}.$$

Ответ: $\arg z = \frac{5\pi}{6}$.

г) Найти $z = \frac{z_1^{31}}{z_2^{33}}$

Аналогично предыдущим пунктам, для деления степеней комплексных чисел в полярной форме:

$$z = \frac{z_1^{31}}{z_2^{33}} = \frac{r_1^{31}}{r_2^{33}} \cdot \left( \cos(\theta_1 \cdot 31 — \theta_2 \cdot 33) + i \sin(\theta_1 \cdot 31 — \theta_2 \cdot 33) \right).$$

Модуль $z_1^{31} = r_1^{31} = 1^{31} = 1$.

Модуль $z_2^{33} = r_2^{33} = 1^{33} = 1$.

Таким образом, модуль для $z$ равен $1$.

Теперь вычислим аргумент:

$$\theta_1 \cdot 31 = 31 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{31\pi}{3},$$ $$\theta_2 \cdot 33 = 33 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{165\pi}{6} = \frac{55\pi}{2}.$$

Вычитаем аргументы:

$$\frac{31\pi}{3} — \frac{55\pi}{2} = \frac{62\pi}{6} — \frac{165\pi}{6} = -\frac{103\pi}{6}.$$

Для упрощения этого угла, добавим $2\pi$, пока не получим угол в интервале $0 \leq \theta < 2\pi$:

$$-\frac{103\pi}{6} + 2\pi = -\frac{103\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = -\frac{91\pi}{6}.$$

Дополним угол до интервала $[0, 2\pi)$:

$$-\frac{91\pi}{6} + 2\pi = -\frac{91\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = -\frac{79\pi}{6}.$$

Ответ: $\arg z = \frac{5\pi}{6}$.