ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $z_1 = 2 + i$, $z_2 = 4 + 3i$, $z_3 = -1 + 7i$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $zz_1$, $zz_2$, $zz_3$, если:

а) $z = i$;

б) $z = 2i$;

в) $z = -i$;

г) $z = 1 — i$.

Даны комплексные числа:
$z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 4 + 3i, \quad z_3 = -1 + 7i;$

а) Если $z = i$, тогда:

$$zz_1 = i(2 + i) = 2i + i^2 = -1 + 2i;$$ $$zz_2 = i(4 + 3i) = 4i + 3i^2 = -3 + 4i;$$ $$zz_3 = i(-1 + 7i) = -i + 7i^2 = -7 — i;$$

Треугольник с вершинами в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.

б) Если $z = 2i$, тогда:

$$zz_1 = 2i(2 + i) = 4i + 2i^2 = -2 + 4i;$$ $$zz_2 = 2i(4 + 3i) = 8i + 6i^2 = -6 + 8i;$$ $$zz_3 = 2i(-1 + 7i) = -2i + 14i^2 = -14 — 2i;$$

Треугольник с вершинами в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.

в) Если $z = -i$, тогда:

$$zz_1 = -i(2 + i) = -2i — i^2 = 1 — 2i;$$ $$zz_2 = -i(4 + 3i) = -4i — 3i^2 = 3 — 4i;$$ $$zz_3 = -i(-1 + 7i) = i — 7i^2 = 7 + i;$$

Треугольник с вершинами в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.

г) Если $z = 1 — i$, тогда:

$$zz_1 = (1 — i)(2 + i) = 2 + i — 2i — i^2 = 3 — i;$$ $$zz_2 = (1 — i)(4 + 3i) = 4 + 3i — 4i — 3i^2 = 7 — i;$$ $$zz_3 = (1 — i)(-1 + 7i) = -1 + 7i + i — 7i^2 = 6 + 8i;$$

Треугольник с вершинами в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.

Даны комплексные числа:

$$z_1 = 2 + i, \quad z_2 = 4 + 3i, \quad z_3 = -1 + 7i.$$

Комплексные числа, например, $z_1 = 2 + i$, состоят из действительной и мнимой части, где $2$ — действительная часть, а $i$ — мнимая единица. Аналогично для других комплексных чисел.

Мы будем перемножать эти числа на различные значения $z$ и в каждом случае получим новое комплексное число $zz_1, zz_2, zz_3$.

а) Если $z = i$, то:

Нам нужно перемножить $z = i$ на каждый из трех данных комплексных чисел: $z_1, z_2, z_3$.

Перемножаем $z = i$ на $z_1 = 2 + i$:

$$zz_1 = i(2 + i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_1 = i \cdot 2 + i \cdot i = 2i + i^2$$

Помним, что $i^2 = -1$. Подставляем это:

$$zz_1 = 2i + (-1) = -1 + 2i.$$

Таким образом, результат перемножения:

$$zz_1 = -1 + 2i.$$

Перемножаем $z = i$ на $z_2 = 4 + 3i$:

$$zz_2 = i(4 + 3i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_2 = i \cdot 4 + i \cdot 3i = 4i + 3i^2$$

Снова используя $i^2 = -1$:

$$zz_2 = 4i + 3(-1) = -3 + 4i.$$

Получаем:

$$zz_2 = -3 + 4i.$$

Перемножаем $z = i$ на $z_3 = -1 + 7i$:

$$zz_3 = i(-1 + 7i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_3 = i \cdot (-1) + i \cdot 7i = -i + 7i^2$$

Используя $i^2 = -1$:

$$zz_3 = -i + 7(-1) = -7 — i.$$

Результат:

$$zz_3 = -7 — i.$$

Таким образом, получаем новый треугольник с вершинами в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.

б) Если $z = 2i$, то:

Теперь перемножим $z = 2i$ на каждый из данных комплексных чисел.

Перемножаем $z = 2i$ на $z_1 = 2 + i$:

$$zz_1 = 2i(2 + i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_1 = 2i \cdot 2 + 2i \cdot i = 4i + 2i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_1 = 4i + 2(-1) = -2 + 4i.$$

Получаем:

$$zz_1 = -2 + 4i.$$

Перемножаем $z = 2i$ на $z_2 = 4 + 3i$:

$$zz_2 = 2i(4 + 3i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_2 = 2i \cdot 4 + 2i \cdot 3i = 8i + 6i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_2 = 8i + 6(-1) = -6 + 8i.$$

Результат:

$$zz_2 = -6 + 8i.$$

Перемножаем $z = 2i$ на $z_3 = -1 + 7i$:

$$zz_3 = 2i(-1 + 7i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_3 = 2i \cdot (-1) + 2i \cdot 7i = -2i + 14i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_3 = -2i + 14(-1) = -14 — 2i.$$

Получаем:

$$zz_3 = -14 — 2i.$$

Получаем новый треугольник с вершинами в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.

в) Если $z = -i$, то:

Теперь перемножим $z = -i$ на каждый из данных комплексных чисел.

Перемножаем $z = -i$ на $z_1 = 2 + i$:

$$zz_1 = -i(2 + i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_1 = -i \cdot 2 + (-i) \cdot i = -2i — i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_1 = -2i — (-1) = 1 — 2i.$$

Получаем:

$$zz_1 = 1 — 2i.$$

Перемножаем $z = -i$ на $z_2 = 4 + 3i$:

$$zz_2 = -i(4 + 3i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_2 = -i \cdot 4 + (-i) \cdot 3i = -4i — 3i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_2 = -4i — 3(-1) = 3 — 4i.$$

Результат:

$$zz_2 = 3 — 4i.$$

Перемножаем $z = -i$ на $z_3 = -1 + 7i$:

$$zz_3 = -i(-1 + 7i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_3 = -i \cdot (-1) + (-i) \cdot 7i = i — 7i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_3 = i — 7(-1) = 7 + i.$$

Получаем:

$$zz_3 = 7 + i.$$

Таким образом, новый треугольник имеет вершины в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.

г) Если $z = 1 — i$, то:

Теперь перемножим $z = 1 — i$ на каждый из данных комплексных чисел.

Перемножаем $z = 1 — i$ на $z_1 = 2 + i$:

$$zz_1 = (1 — i)(2 + i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_1 = 1 \cdot 2 + 1 \cdot i — i \cdot 2 — i \cdot i = 2 + i — 2i — i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_1 = 2 + i — 2i + 1 = 3 — i.$$

Результат:

$$zz_1 = 3 — i.$$

Перемножаем $z = 1 — i$ на $z_2 = 4 + 3i$:

$$zz_2 = (1 — i)(4 + 3i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_2 = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 3i — i \cdot 4 — i \cdot 3i = 4 + 3i — 4i — 3i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_2 = 4 + 3i — 4i + 3 = 7 — i.$$

Получаем:

$$zz_2 = 7 — i.$$

Перемножаем $z = 1 — i$ на $z_3 = -1 + 7i$:

$$zz_3 = (1 — i)(-1 + 7i)$$

Раскроем скобки:

$$zz_3 = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 7i — i \cdot (-1) — i \cdot 7i = -1 + 7i + i — 7i^2$$

С учетом $i^2 = -1$:

$$zz_3 = -1 + 7i + i + 7 = 6 + 8i.$$

Получаем:

$$zz_3 = 6 + 8i.$$

Таким образом, треугольник имеет вершины в точках $zz_1, zz_2, zz_3$.