ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $z_1=2-i$, $z_2=4+3i$, $z_3=-2+5i$, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами $\frac{z_1}{z}$, $\frac{z_2}{z}$, $\frac{z_3}{z}$, если:

а) $z=i$;

б) $z=2i$;

в) $z=-i$;

г) $z=1-i$.

Даны комплексные числа:
$z_1=2-i,z_2=4+3i,z_3=-2+5i;$

а) Если $z=i$, тогда:

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{i}=\frac{i(2-i)}{i^2}=\frac{i(2-i)}{-1}=-(2i-i^2)=-1-2i;$$$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{i}=\frac{i(4+3i)}{i^2}=\frac{i(4+3i)}{-1}=-(4i+3i^2)=3-4i;$$$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{i}=\frac{i(-2+5i)}{i^2}=\frac{i(-2+5i)}{-1}=-(-2i+5i^2)=5+2i;$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{z},\frac{z_2}{z},\frac{z_3}{z}$.

б) Если $z=2i$, тогда:

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{2i}=\frac{i(2-i)}{2i^2}=\frac{2i-i^2}{-2}=\frac{1+2i}{-2}=-0.5-i;$$$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{2i}=\frac{i(4+3i)}{2i^2}=\frac{4i+3i^2}{-2}=\frac{-3+4i}{-2}=1.5-2i;$$$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{2i}=\frac{i(-2+5i)}{2i^2}=\frac{-2i+5i^2}{-2}=\frac{-5-2i}{-2}=2.5+i;$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{z},\frac{z_2}{z},\frac{z_3}{z}$.

в) Если $z=-i$, тогда:

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{-i}=\frac{i(2-i)}{-i^2}=\frac{i(2-i)}{1}=2i-i^2=1+2i;$$$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{-i}=\frac{i(4+3i)}{-i^2}=\frac{i(4+3i)}{1}=4i+3i^2=-3+4i;$$$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{-i}=\frac{i(-2+5i)}{-i^2}=\frac{i(-2+5i)}{1}=-2i+5i^2=-5-2i;$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{z},\frac{z_2}{z},\frac{z_3}{z}$.

г) Если $z=1-i$, тогда:

$$\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{1-i}=\frac{(2-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i-i-i^2}{1-i^2}=\frac{2+i+1}{2}=\frac{3+i}{2}=1.5+0.5i;$$$$\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{1-i}=\frac{(4+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{4+4i+3i+3i^2}{1-i^2}=\frac{4+7i-3}{2}=\frac{1+7i}{2}=0.5+3.5i;$$$$\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{1-i}=\frac{(-2+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-2-2i+5i+5i^2}{1-i^2}=\frac{-2+3i-5}{2}=$$

$$=\frac{-7+3i}{2}=-3.5+1.5i;$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{z},\frac{z_2}{z},\frac{z_3}{z}$.

Даны комплексные числа:

$$z_1=2-i,z_2=4+3i,z_3=-2+5i\mathrm{.}$$

Нужно выполнить операции деления каждого из этих чисел на различные значения $z$ и для каждого случая построить треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{z},\frac{z_2}{z},\frac{z_3}{z}$.

Рассмотрим все возможные случаи для $z$.

а) Если $z=i$:

Нам нужно вычислить $\frac{z_1}{z},\frac{z_2}{z},\frac{z_3}{z}$, где $z=i$.

1. Перемножение $\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{i}$:

Чтобы разделить комплексное число на $i$, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное число $i$, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе. В данном случае умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{2-i}{i}=\frac{i(2-i)}{i^2}=\frac{i(2-i)}{-1}=-(2i-i^2)\mathrm{.}$$

Теперь подставим $i^2=-1$:

$$-(2i-(-1))=-2i+1=-1-2i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_1}{i}=-1-2i\mathrm{.}$$

2. Перемножение $\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{i}$:

Точно так же умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{4+3i}{i}=\frac{i(4+3i)}{i^2}=\frac{i(4+3i)}{-1}=-(4i+3i^2)\mathrm{.}$$

Так как $i^2=-1$:

$$-(4i+3(-1))=-4i-3=3-4i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_2}{i}=3-4i\mathrm{.}$$

3. Перемножение $\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{i}$:

Снова умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{-2+5i}{i}=\frac{i(-2+5i)}{i^2}=\frac{i(-2+5i)}{-1}=-(-2i+5i^2)\mathrm{.}$$

Так как $i^2=-1$:

$$-(-2i+5(-1))=2i-5=5+2i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_3}{i}=5+2i\mathrm{.}$$

Таким образом, для $z=i$ получаем:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{z_1}{i}=-1-2i,\frac{z_2}{i}=3-4i,\frac{z_3}{i}=5+2i\mathrm{.}}}$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{i},\frac{z_2}{i},\frac{z_3}{i}$.

б) Если $z=2i$:

Теперь делим на $z=2i$.

1. Перемножение $\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{2i}$:

Чтобы разделить на $2i$, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{2-i}{2i}=\frac{i(2-i)}{2i^2}=\frac{2i-i^2}{-2}\mathrm{.}$$

Подставим $i^2=-1$:

$$\frac{2i-(-1)}{-2}=\frac{2i+1}{-2}=-\frac{1}{2}-i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_1}{2i}=-0.5-i\mathrm{.}$$

2. Перемножение $\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{2i}$:

Умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{4+3i}{2i}=\frac{i(4+3i)}{2i^2}=\frac{4i+3i^2}{-2}\mathrm{.}$$

Подставим $i^2=-1$:

$$\frac{4i+3(-1)}{-2}=\frac{-3+4i}{-2}=1.5-2i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_2}{2i}=1.5-2i\mathrm{.}$$

3. Перемножение $\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{2i}$:

Умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{-2+5i}{2i}=\frac{i(-2+5i)}{2i^2}=\frac{-2i+5i^2}{-2}\mathrm{.}$$

Подставим $i^2=-1$:

$$\frac{-2i+5(-1)}{-2}=\frac{-5-2i}{-2}=2.5+i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_3}{2i}=2.5+i\mathrm{.}$$

Таким образом, для $z=2i$ получаем:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{z_1}{2i}=-0.5-i,\frac{z_2}{2i}=1.5-2i,\frac{z_3}{2i}=2.5+i\mathrm{.}}}$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{2i},\frac{z_2}{2i},\frac{z_3}{2i}$.

в) Если $z=-i$:

Теперь делим на $z=-i$.

1. Перемножение $\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{-i}$:

Чтобы разделить на $-i$, умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{2-i}{-i}=\frac{i(2-i)}{-i^2}=\frac{i(2-i)}{1}=2i-i^2\mathrm{.}$$

Подставим $i^2=-1$:

$$2i-(-1)=1+2i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_1}{-i}=1+2i\mathrm{.}$$

2. Перемножение $\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{-i}$:

Умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{4+3i}{-i}=\frac{i(4+3i)}{-i^2}=\frac{i(4+3i)}{1}=4i+3i^2\mathrm{.}$$

Подставим $i^2=-1$:

$$4i+3(-1)=-3+4i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_2}{-i}=-3+4i\mathrm{.}$$

3. Перемножение $\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{-i}$:

Умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$\frac{-2+5i}{-i}=\frac{i(-2+5i)}{-i^2}=\frac{i(-2+5i)}{1}=-2i+5i^2\mathrm{.}$$

Подставим $i^2=-1$:

$$-2i+5(-1)=-5-2i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_3}{-i}=-5-2i\mathrm{.}$$

Таким образом, для $z=-i$ получаем:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{z_1}{-i}=1+2i,\frac{z_2}{-i}=-3+4i,\frac{z_3}{-i}=-5-2i\mathrm{.}}}$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{-i},\frac{z_2}{-i},\frac{z_3}{-i}$.

г) Если $z=1-i$:

Наконец, делим на $z=1-i$.

1. Перемножение $\frac{z_1}{z}=\frac{2-i}{1-i}$:

В этом случае используем формулу для деления комплексных чисел. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число $1+i$:

$$\frac{2-i}{1-i}=\frac{(2-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i-i-i^2}{1-i^2}=$$

$$=\frac{2+i+1}{2}=\frac{3+i}{2}=1.5+0.5i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_1}{1-i}=1.5+0.5i\mathrm{.}$$

2. Перемножение $\frac{z_2}{z}=\frac{4+3i}{1-i}$:

Умножим числитель и знаменатель на $1+i$:

$$\frac{4+3i}{1-i}=\frac{(4+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{4+4i+3i+3i^2}{1-i^2}=$$

$$=\frac{4+7i-3}{2}=\frac{1+7i}{2}=0.5+3.5i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_2}{1-i}=0.5+3.5i\mathrm{.}$$

3. Перемножение $\frac{z_3}{z}=\frac{-2+5i}{1-i}$:

Умножим числитель и знаменатель на $1+i$:

$$\frac{-2+5i}{1-i}=\frac{(-2+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{-2-2i+5i+5i^2}{1-i^2}=$$

$$=\frac{-2+3i-5}{2}=\frac{-7+3i}{2}=-3.5+1.5i\mathrm{.}$$

Результат:

$$\frac{z_3}{1-i}=-3.5+1.5i\mathrm{.}$$

Таким образом, для $z=1-i$ получаем:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{z_1}{1-i}=1.5+0.5i,\frac{z_2}{1-i}=0.5+3.5i,\frac{z_3}{1-i}=-3.5+1.5i\mathrm{.}}}$$

Треугольник с вершинами в точках $\frac{z_1}{1-i},\frac{z_2}{1-i},\frac{z_3}{1-i}$.