ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 34 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

а) (c+5)/(c^2-64) : (4/(c+8) — 12/(c^2+16c+64)) + 4/8-c;

б) (4/(x-7) + 14/(x^2-14x+49)) * (x^2-49)/(2x-7) — (7x-21)/(x-7).

а)

$$\frac{c+5}{c^2-64} : \left( \frac{4}{c+8} — \frac{12}{c^2+16c+64} \right) + \frac{4}{8-c} =$$ $$= \frac{c+5}{c^2-64} : \left( \frac{4(c+8)}{(c+8)^2} — \frac{12}{(c+8)^2} \right) — \frac{4}{c-8} =$$ $$= \frac{c+5}{c^2-64} : \frac{4c+32-12}{(c+8)^2} — \frac{4}{c-8} = \frac{c+5}{(c-8)(c+8)} \cdot \frac{(c+8)^2}{4c+20} — \frac{4}{c-8} =$$ $$= \frac{c+5}{c-8} \cdot \frac{c+8}{4(c+5)} — \frac{4}{c-8} = \frac{c+8}{4(c-8)} — \frac{4}{c-8} = \frac{c+8}{4(c-8)} — \frac{16}{4(c-8)} =$$ $$= \frac{c-8}{4(c-8)} = \frac{1}{4} = 0,25;$$

Таким образом, значение выражения равно $0,25$ при любых допустимых значениях переменной $c$, что и требовалось доказать.

б)

$$\left( \frac{4}{x-7} + \frac{14}{x^2-14x+49} \right) \cdot \frac{x^2-49}{2x-7} — \frac{7x-21}{x-7} =$$ $$= \left( \frac{4(x-7)}{(x-7)^2} + \frac{14}{(x-7)^2} \right) \cdot \frac{x^2-49}{2x-7} — \frac{7x-21}{x-7} =$$ $$= \frac{4x-28+14}{(x-7)^2} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{2x-7} — \frac{7x-21}{x-7} = \frac{(4x-14)(x+7)}{(x-7)(2x-7)} — \frac{7x-21}{x-7} =$$ $$= \frac{2(2x-7)(x+7)}{(x-7)(2x-7)} = \frac{2(x+7)}{x-7} — \frac{7x-21}{x-7} = \frac{2x+14-7x+21}{x-7} = \frac{-5x+35}{x-7} =$$ $$= \frac{-5(x-7)}{x-7} = -5;$$

Таким образом, значение выражения равно $(-5)$ при любых допустимых значениях переменной $x$, что и требовалось доказать.

а)

$$\frac{c+5}{c^2-64} : \left( \frac{4}{c+8} — \frac{12}{c^2+16c+64} \right) + \frac{4}{8-c}$$

Шаг 1: Разбор выражения

В первой части задачи мы видим дробь $\frac{c+5}{c^2 — 64}$. Заметим, что $c^2 — 64$ можно разложить как разность квадратов:

$$c^2 — 64 = (c — 8)(c + 8).$$

Таким образом, наша первая дробь $\frac{c+5}{c^2 — 64}$ превращается в:

$$\frac{c+5}{(c — 8)(c + 8)}.$$

Во второй части выражения у нас есть $\frac{4}{c + 8} — \frac{12}{c^2 + 16c + 64}$. Заметим, что $c^2 + 16c + 64$ — это полный квадрат:

$$c^2 + 16c + 64 = (c + 8)^2.$$

Таким образом, вторая часть выражения:

$$\frac{4}{c + 8} — \frac{12}{(c + 8)^2}.$$

Третья часть выражения — $\frac{4}{8 — c}$. Мы можем переписать это выражение как:

$$\frac{4}{8 — c} = -\frac{4}{c — 8},$$

так как $8 — c = -(c — 8)$.

Таким образом, у нас получается следующее выражение:

$$\frac{c+5}{(c — 8)(c + 8)} : \left( \frac{4}{c + 8} — \frac{12}{(c + 8)^2} \right) — \frac{4}{c — 8}.$$

Шаг 2: Приведение ко всем общему знаменателю

Теперь давайте сосредоточимся на части выражения:

$$\frac{4}{c + 8} — \frac{12}{(c + 8)^2}.$$

Приведем эти две дроби к общему знаменателю $(c + 8)^2$:

$$\frac{4}{c + 8} = \frac{4(c + 8)}{(c + 8)^2} = \frac{4c + 32}{(c + 8)^2}.$$

Таким образом, имеем:

$$\frac{4c + 32}{(c + 8)^2} — \frac{12}{(c + 8)^2} = \frac{4c + 32 — 12}{(c + 8)^2} = \frac{4c + 20}{(c + 8)^2}.$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{c+5}{(c — 8)(c + 8)} : \frac{4c + 20}{(c + 8)^2} — \frac{4}{c — 8}.$$

Шаг 3: Деление на дробь

Для деления на дробь, мы умножаем на ее обратную:

$$\frac{c+5}{(c — 8)(c + 8)} \cdot \frac{(c + 8)^2}{4c + 20} — \frac{4}{c — 8}.$$

Шаг 4: Упрощение

Теперь можем упростить первую дробь:

$$\frac{c+5}{(c — 8)(c + 8)} \cdot \frac{(c + 8)^2}{4c + 20} = \frac{c+5}{(c — 8)} \cdot \frac{c + 8}{4(c + 5)}.$$

Здесь мы заметили, что $4c + 20 = 4(c + 5)$.

Сократим $c + 5$ и $c — 8$:

$$\frac{c + 8}{4(c — 8)} — \frac{4}{c — 8}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{c + 8}{4(c — 8)} — \frac{16}{4(c — 8)} = \frac{c + 8 — 16}{4(c — 8)} = \frac{c — 8}{4(c — 8)}.$$

Сократим $(c — 8)$:

$$\frac{1}{4}.$$

Ответ:

Значение выражения равно $0,25$ при любых допустимых значениях переменной $c$.

б)

$$\left( \frac{4}{x — 7} + \frac{14}{x^2 — 14x + 49} \right) \cdot \frac{x^2 — 49}{2x — 7} — \frac{7x — 21}{x — 7}$$

Шаг 1: Разбор выражения

Рассмотрим первую часть выражения:

$$\frac{4}{x — 7} + \frac{14}{x^2 — 14x + 49}.$$

Заметим, что $x^2 — 14x + 49 = (x — 7)^2$, поэтому второе слагаемое можно переписать как:

$$\frac{14}{(x — 7)^2}.$$

Таким образом, выражение для первой части:

$$\frac{4}{x — 7} + \frac{14}{(x — 7)^2}.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Теперь приведем эти две дроби к общему знаменателю $(x — 7)^2$:

$$\frac{4}{x — 7} = \frac{4(x — 7)}{(x — 7)^2} = \frac{4x — 28}{(x — 7)^2}.$$

Таким образом, имеем:

$$\frac{4x — 28}{(x — 7)^2} + \frac{14}{(x — 7)^2} = \frac{4x — 28 + 14}{(x — 7)^2} = \frac{4x — 14}{(x — 7)^2}.$$

Теперь наша первая часть выражения:

$$\frac{4x — 14}{(x — 7)^2}.$$

Шаг 3: Умножение на вторую дробь

Теперь умножим на вторую дробь $\frac{x^2 — 49}{2x — 7}$. Заметим, что $x^2 — 49 = (x — 7)(x + 7)$, поэтому:

$$\frac{x^2 — 49}{2x — 7} = \frac{(x — 7)(x + 7)}{2x — 7}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{4x — 14}{(x — 7)^2} \cdot \frac{(x — 7)(x + 7)}{2x — 7}.$$

Шаг 4: Упрощение

Сократим $(x — 7)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(4x — 14)(x + 7)}{(x — 7)(2x — 7)}.$$

Заметим, что $4x — 14 = 2(2x — 7)$, и получаем:

$$\frac{2(2x — 7)(x + 7)}{(x — 7)(2x — 7)}.$$

Сократим $(2x — 7)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2(x + 7)}{x — 7}.$$

Шаг 5: Приведение к общей форме

Теперь вторая часть выражения:

$$— \frac{7x — 21}{x — 7}.$$

Мы можем вынести $7$ из числителя:

$$— \frac{7(x — 3)}{x — 7}.$$

Шаг 6: Приведение к общему знаменателю

Приводим обе части к общему знаменателю:

$$\frac{2(x + 7)}{x — 7} — \frac{7(x — 3)}{x — 7}.$$

Теперь имеем:

$$\frac{2(x + 7) — 7(x — 3)}{x — 7}.$$

Раскроем скобки:

$$2(x + 7) = 2x + 14, \quad 7(x — 3) = 7x — 21.$$

Подставляем:

$$\frac{2x + 14 — 7x + 21}{x — 7} = \frac{-5x + 35}{x — 7}.$$

Шаг 7: Упрощение

Сократим $-5$ в числителе:

$$\frac{-5(x — 7)}{x — 7}.$$

Сократим $(x — 7)$:

$$-5.$$

Ответ:

Значение выражения равно $-5$ при любых допустимых значениях переменной $x$.