ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$:

а) уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $2 + i$;

б) уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ имеет корень $-2 — 3i$;

в) уравнение $z^2 + (1 — a^2)z + 25 = 0$ имеет корень $4 + 3i$;

г) уравнение $z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0$ имеет корень $-5 + 4i$?

При каких значениях параметра $$$a$:

а) Уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $2 + i$:

$$(2 + i)^2 + a(2 + i) + 5 = 0;$$ $$4 + 4i + i^2 + 2a + ai + 5 = 0;$$ $$9 — 1 + 2a + 4i + ai = 0;$$ $$(2a + 8) + (4 + a)i = 0 + 0i;$$ $$\begin{cases} 2a + 8 = 0 \\ 4 + a = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a = -8 \\ a = -4 \end{cases} \Rightarrow \{a = -4\};$$

Ответ: $-4$.

б) Уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ имеет корень $-2 — 3i$:

$$(-2 — 3i)^2 + a(-2 — 3i) + 13 = 0;$$ $$4 + 12i + 9i^2 — 2a — 3ai + 13 = 0;$$ $$4 + 12i — 9 — 2a — 3ai + 13 = 0;$$ $$(8 — 2a) + (12 — 3a)i = 0 + 0i;$$ $$\begin{cases} 8 — 2a = 0 \\ 12 — 3a = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a = 8 \\ 3a = 12 \end{cases} \Rightarrow \{a = 4\};$$

Ответ: $4$.

в) Уравнение $z^2 + (1 — a^2)z + 25 = 0$ имеет корень $4 + 3i$:

$$(4 + 3i)^2 + (1 — a^2)(4 + 3i) + 25 = 0;$$ $$16 + 24i + 9i^2 + 4 + 3i — 4a^2 — 3a^2i + 25 = 0;$$ $$16 + 24i — 9 + 4 + 3i — 4a^2 — 3a^2i + 25 = 0;$$ $$(36 — 4a^2) + (27 — 3a^2)i = 0 + 0i;$$ $$\begin{cases} 36 — 4a^2 = 0 \\ 27 — 3a^2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 = 9 \\ a^2 = 9 \end{cases} \Rightarrow \{a = \pm 3\};$$

Ответ: $\pm 3$.

г) Уравнение $z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0$ имеет корень $-5 + 4i$:

$$(-5 + 4i)^2 + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0;$$ $$25 — 40i + 16i^2 — 5(a^2 + 2a + 2) + 4i(a^2 + 2a + 2) + 41 = 0;$$ $$25 — 40i — 16 — 5a^2 — 10a — 10 + 4a^2i + 8ai + 8i + 41 = 0;$$ $$(-5a^2 — 10a + 40) + (4a^2 + 8a — 32)i = 0 + 0i;$$ $$\begin{cases} -5a^2 — 10a + 40 = 0 \\ 4a^2 + 8a — 32 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + 2a — 8 = 0 \\ a^2 + 2a — 8 = 0 \end{cases}$$ $$a^2 + 2a — 8 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36;$$ $$a_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;$$

Ответ: $-4; 2$.

При каких значениях параметра $a$:

а) Уравнение $z^2 + az + 5 = 0$ имеет корень $2 + i$:

Шаг 1: Подставляем корень $z = 2 + i$ в уравнение:

$$(2 + i)^2 + a(2 + i) + 5 = 0$$

Шаг 2: Раскрываем квадрат $(2 + i)^2$:

$$(2 + i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i + (-1) = 3 + 4i$$

Шаг 3: Подставляем это значение в уравнение:

$$(3 + 4i) + a(2 + i) + 5 = 0$$

Шаг 4: Раскроем скобки в терминах с $a$:

$$3 + 4i + a(2 + i) + 5 = 0$$ $$3 + 4i + 2a + ai + 5 = 0$$

Шаг 5: Приводим подобные слагаемые. Для этого сложим действительные части и мнимые:

$$(3 + 5 + 2a) + (4 + a)i = 0$$ $$(8 + 2a) + (4 + a)i = 0$$

Шаг 6: Уравнение приравниваем к нулю, то есть разделяем на действительные и мнимые части. Для того, чтобы уравнение было верным, обе части (действительная и мнимая) должны быть равны нулю:

$$\begin{cases} 8 + 2a = 0 \\ 4 + a = 0 \end{cases}$$

Шаг 7: Решаем систему уравнений:

$8 + 2a = 0 \Rightarrow 2a = -8 \Rightarrow a = -4$

$4 + a = 0 \Rightarrow a = -4$

Таким образом, $a = -4$.

Ответ: $a = -4$

б) Уравнение $z^2 + az + 13 = 0$ имеет корень $-2 — 3i$:

Шаг 1: Подставляем корень $z = -2 — 3i$ в уравнение:

$$(-2 — 3i)^2 + a(-2 — 3i) + 13 = 0$$

Шаг 2: Раскрываем квадрат $(-2 — 3i)^2$:

$$(-2-3i{)}^2=(-2{)}^2+2\cdot (-2)\cdot (-3i)+(-3i{)}^2=$$

$$(-2 — 3i)^2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \cdot (-3i) + (-3i)^2 = 4 + 12i + 9(-1) = 4 + 12i — 9 = -5 + 12i$$

Шаг 3: Подставляем это значение в уравнение:

$$(-5 + 12i) + a(-2 — 3i) + 13 = 0$$

Шаг 4: Раскроем скобки в терминах с $a$:

$$-5 + 12i — 2a — 3ai + 13 = 0$$

Шаг 5: Приводим подобные слагаемые. Для этого сложим действительные части и мнимые:

$$(-5 + 13 — 2a) + (12 — 3a)i = 0$$ $$(8 — 2a) + (12 — 3a)i = 0$$

Шаг 6: Уравнение приравниваем к нулю, то есть разделяем на действительные и мнимые части. Для того, чтобы уравнение было верным, обе части (действительная и мнимая) должны быть равны нулю:

$$\begin{cases} 8 — 2a = 0 \\ 12 — 3a = 0 \end{cases}$$

Шаг 7: Решаем систему уравнений:

$8 — 2a = 0 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4$

$12 — 3a = 0 \Rightarrow 3a = 12 \Rightarrow a = 4$

Таким образом, $a = 4$.

Ответ: $a = 4$

в) Уравнение $z^2 + (1 — a^2)z + 25 = 0$ имеет корень $4 + 3i$:

Шаг 1: Подставляем корень $z = 4 + 3i$ в уравнение:

$$(4 + 3i)^2 + (1 — a^2)(4 + 3i) + 25 = 0$$

Шаг 2: Раскрываем квадрат $(4 + 3i)^2$:

$$(4+3i{)}^2=4^2+2\cdot 4\cdot 3i+(3i{)}^2=16+24i+9(-1)=$$

$$(4 + 3i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3i + (3i)^2 = 16 + 24i + 9(-1) = 16 + 24i — 9 = 7 + 24i$$

Шаг 3: Подставляем это значение в уравнение:

$$(7 + 24i) + (1 — a^2)(4 + 3i) + 25 = 0$$

Шаг 4: Раскроем скобки в терминах с $a$:

$$7 + 24i + (1 — a^2)(4 + 3i) + 25 = 0$$ $$7 + 24i + (4 + 3i — 4a^2 — 3a^2i) + 25 = 0$$

Шаг 5: Приводим подобные слагаемые. Для этого сложим действительные части и мнимые:

$$(7 + 4 + 25 — 4a^2) + (24 + 3a^2)i = 0$$ $$(36 — 4a^2) + (24 + 3a^2)i = 0$$

Шаг 6: Уравнение приравниваем к нулю, то есть разделяем на действительные и мнимые части. Для того, чтобы уравнение было верным, обе части (действительная и мнимая) должны быть равны нулю:

$$\begin{cases} 36 — 4a^2 = 0 \\ 24 + 3a^2 = 0 \end{cases}$$

Шаг 7: Решаем систему уравнений:

$36 — 4a^2 = 0 \Rightarrow 4a^2 = 36 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3$

$24 + 3a^2 = 0 \Rightarrow 3a^2 = -24 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = \pm 3$

Таким образом, $a = \pm 3$.

Ответ: $a = \pm 3$

г) Уравнение $z^2 + (a^2 + 2a + 2)z + 41 = 0$ имеет корень $-5 + 4i$:

Шаг 1: Подставляем корень $z = -5 + 4i$ в уравнение:

$$(-5 + 4i)^2 + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0$$

Шаг 2: Раскрываем квадрат $(-5 + 4i)^2$:

$$(-5+4i{)}^2=(-5{)}^2+2\cdot (-5)\cdot 4i+(4i{)}^2=25-40i+16(-1)=$$

$$(-5 + 4i)^2 = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) \cdot 4i + (4i)^2 = 25 — 40i + 16(-1) = 25 — 40i — 16 = 9 — 40i$$

Шаг 3: Подставляем это значение в уравнение:

$$(9 — 40i) + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0$$

Шаг 4: Раскроем скобки в терминах с $a$:

$$9 — 40i + (a^2 + 2a + 2)(-5 + 4i) + 41 = 0$$ $$9 — 40i — 5(a^2 + 2a + 2) + 4i(a^2 + 2a + 2) + 41 = 0$$

Шаг 5: Раскроем выражения с $a$:

$$9 — 40i — 5a^2 — 10a — 10 + 4a^2i + 8ai + 8i + 41 = 0$$

Шаг 6: Приводим подобные слагаемые:

$$(-5a^2 — 10a + 40) + (-40i + 4a^2i + 8ai + 8i) = 0$$ $$(-5a^2 — 10a + 40) + (-40 + 4a^2 + 8a + 8)i = 0$$

Шаг 7: Разделим уравнение на действительную и мнимую части:

$$\begin{cases} -5a^2 — 10a + 40 = 0 \\ -40 + 4a^2 + 8a + 8 = 0 \end{cases}$$

Шаг 8: Получаем систему из двух одинаковых уравнений:

$$a^2 + 2a — 8 = 0$$

Шаг 9: Находим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Шаг 10: Решаем квадратное уравнение:

$$a_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$

Ответ: $a = -4; 2$

Итоговые ответы:

а) $a = -4$

б) $a = 4$

в) $a = \pm 3$

г) $a = -4; 2$