ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразить на комплексной плоскости число $z$ и множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z| = 1$, $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$;

$$z = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = \cos 90^\circ + i \sin 90^\circ;$$ $$\sqrt{z} = \pm \sqrt{1} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \pm (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ);$$

Данные числа на комплексной плоскости:

б) $|z| = 4$, $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$;

$$z = 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right) = 4 (\cos(-90^\circ) + i \sin(-90^\circ));$$ $$\sqrt{z} = \pm \sqrt{4} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right) = \pm 2 (\cos(-45^\circ) + i \sin(-45^\circ));$$

Данные числа на комплексной плоскости:

в) $|z| = 9$, $\arg(z) = \frac{\pi}{3}$;

$$z = 9 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 9 (\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ);$$ $$\sqrt{z} = \pm \sqrt{9} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \pm 3 (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ);$$

Данные числа на комплексной плоскости:

г) $|z| = 0.25$, $\arg(z) = -\frac{2\pi}{3}$;

$$z = \frac{1}{4} \left( \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right) = \frac{1}{4} (\cos(-120^\circ) + i \sin(-120^\circ));$$ $$\sqrt{z} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) = \pm \frac{1}{2} (\cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ));$$

Данные числа на комплексной плоскости:

Изобразить на комплексной плоскости число $z$ и множество $\sqrt{z}$, если:

а) $|z| = 1$, $\arg(z) = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Запись числа $z$ в полярной форме.

Число $z$ можно записать в полярной форме как:

$$z = |z| \left( \cos \arg(z) + i \sin \arg(z) \right)$$

В данном случае:

$$|z| = 1, \quad \arg(z) = \frac{\pi}{2}$$

Подставляем в формулу:

$$z = 1 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, получаем:

$$z = 0 + i = i$$

Итак, число $z$ на комплексной плоскости это чисто мнимое число $i$, расположенное на оси мнимых чисел в точке $(0, 1)$.

Шаг 2: Найдем множество $\sqrt{z}$.

Для нахождения корня из комплексного числа $z$, используем формулу для корня:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{|z|} \left( \cos \frac{\arg(z)}{2} + i \sin \frac{\arg(z)}{2} \right)$$

Подставляем данные:

$$|z| = 1, \quad \arg(z) = \frac{\pi}{2}$$

Тогда:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{1} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$$\sqrt{z} = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

То есть, $\sqrt{z}$ может быть двумя значениями:

$$\sqrt{z} = \pm \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right)$$

На комплексной плоскости эти два значения будут представлять собой два комплексных числа, расположенные на угле $45^\circ$ относительно положительной вещественной оси. Эти точки будут симметричны относительно начала координат.

б) $|z| = 4$, $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Запись числа $z$ в полярной форме.

Для числа $z$ с модулем 4 и аргументом $-\frac{\pi}{2}$ запишем его как:

$$z = 4 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)$$

Зная, что $\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0$ и $\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$, получаем:

$$z = 4 \left( 0 — i \right) = -4i$$

Число $z$ находится на мнимой оси, в точке $(0, -4)$.

Шаг 2: Найдем множество $\sqrt{z}$.

Для нахождения корня из числа $z$ используем ту же формулу:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{|z|} \left( \cos \frac{\arg(z)}{2} + i \sin \frac{\arg(z)}{2} \right)$$

Подставляем:

$$|z| = 4, \quad \arg(z) = -\frac{\pi}{2}$$

Тогда:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{4} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$$ $$\sqrt{z} = \pm 2 \left( \cos \left( -45^\circ \right) + i \sin \left( -45^\circ \right) \right)$$

Зная, что $\cos(-45^\circ) = \sin(-45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$$\sqrt{z} = \pm 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Итак:

$$\sqrt{z} = \pm \left( \sqrt{2} + i \sqrt{2} \right)$$

Множество $\sqrt{z}$ состоит из двух точек, расположенных на угле $-45^\circ$ относительно положительной вещественной оси.

в) $|z| = 9$, $\arg(z) = \frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Запись числа $z$ в полярной форме.

Для числа $z$ с модулем 9 и аргументом $\frac{\pi}{3}$ запишем его как:

$$z = 9 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$

Зная, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$$z = 9 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$ $$z = \frac{9}{2} + i \frac{9\sqrt{3}}{2}$$

Это число расположено в первой четверти комплексной плоскости.

Шаг 2: Найдем множество $\sqrt{z}$.

Для нахождения корня из числа $z$ используем ту же формулу:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{|z|} \left( \cos \frac{\arg(z)}{2} + i \sin \frac{\arg(z)}{2} \right)$$

Подставляем:

$$|z| = 9, \quad \arg(z) = \frac{\pi}{3}$$

Тогда:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{9} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$$ $$\sqrt{z} = \pm 3 \left( \cos 30^\circ + i \sin 30^\circ \right)$$

Зная, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$$\sqrt{z} = \pm 3 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right)$$

Это два комплексных числа, расположенных на угле $15^\circ$ и $195^\circ$ относительно положительной вещественной оси.

г) $|z| = 0.25$, $\arg(z) = -\frac{2\pi}{3}$

Шаг 1: Запись числа $z$ в полярной форме.

Для числа $z$ с модулем $\frac{1}{4}$ и аргументом $-\frac{2\pi}{3}$ запишем его как:

$$z = \frac{1}{4} \left( \cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) \right)$$

Зная, что $\cos \left( -\frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$ и $\sin \left( -\frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$$z = \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$ $$z = -\frac{1}{8} — i \frac{\sqrt{3}}{8}$$

Это число расположено в третьей четверти комплексной плоскости.

Шаг 2: Найдем множество $\sqrt{z}$.

Для нахождения корня из числа $z$ используем ту же формулу:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{|z|} \left( \cos \frac{\arg(z)}{2} + i \sin \frac{\arg(z)}{2} \right)$$

Подставляем:

$$|z| = 0.25, \quad \arg(z) = -\frac{2\pi}{3}$$

Тогда:

$$\sqrt{z} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right)$$ $$\sqrt{z} = \pm \frac{1}{2} \left( \cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ) \right)$$

Зная, что $\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(-60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$$\sqrt{z} = \pm \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} — i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

Итак:

$$\sqrt{z} = \pm \left( \frac{1}{4} — i \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$$

Эти два числа находятся в третьей и второй четвертях комплексной плоскости.