ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Изобразить на комплексной плоскости множество $\sqrt{z}$, если

а) $|z| = 1, \; 0 \leq \arg(z) \leq \frac{\pi}{2}$;

$|\sqrt{z}| = \sqrt{1} = 1$;

$0 \leq \arg(\sqrt{z}) \leq \frac{\pi}{4}$;

б) $|z| = 1, \; 0 < \arg(z) < \pi$;

$|\sqrt{z}| = \sqrt{1} = 1$;

$0 < \arg(\sqrt{z}) < \frac{\pi}{2}$;

в) $|z| = 1, \; -\frac{2\pi}{3} \leq \arg(z) \leq 0$;

$|\sqrt{z}| = \sqrt{1} = 1$;

$-\frac{\pi}{3} \leq \arg(\sqrt{z}) \leq 0$;

г) $|z| = 1, \; -\frac{\pi}{4} \leq \arg(z) \leq \pi$;

$|\sqrt{z}| = \sqrt{1} = 1$;

$-\frac{\pi}{8} \leq \arg(\sqrt{z}) \leq \frac{\pi}{2}$;

Комплексное число $z$ можно представить в полярной форме как:

$$z = r(\cos(\arg(z)) + i\sin(\arg(z))) = r e^{i\arg(z)},$$

где $r = |z|$ — модуль числа, $\arg(z)$ — аргумент числа $z$. Тогда квадратный корень из $z$ можно записать как:

$$\sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot e^{i \frac{\arg(z)}{2}}.$$

Так как на комплексной плоскости существует два значения для квадратного корня, то выбор одного из них определяется областью значений аргумента числа $z$.

Теперь разобьем задачу на четыре части, как указано в вопросе.

a) $|z| = 1, \; 0 \leq \arg(z) \leq \frac{\pi}{2}$

1. Модуль $\sqrt{z}$:

Поскольку $|z| = 1$, то:

$$|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{1} = 1.$$

2. Аргумент $\sqrt{z}$:

Для нахождения аргумента корня используем формулу для аргумента корня комплексного числа. Аргумент корня $\arg(\sqrt{z})$ равен половине аргумента $\arg(z)$. Таким образом:

$$0 \leq \arg(z) \leq \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad 0 \leq \frac{\arg(z)}{2} \leq \frac{\pi}{4}.$$

Таким образом, для этого случая:

$$0 \leq \arg(\sqrt{z}) \leq \frac{\pi}{4}.$$

Ответ:

Множество $\sqrt{z}$ будет расположено на круге радиуса 1, с аргументом от 0 до $\frac{\pi}{4}$.

б) $|z| = 1, \; 0 < \arg(z) < \pi$

1. Модуль $\sqrt{z}$:

Так как $|z| = 1$, то:

$$|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{1} = 1.$$

2. Аргумент $\sqrt{z}$:

Для нахождения аргумента корня аналогично предыдущему шагу, $\arg(\sqrt{z}) = \frac{\arg(z)}{2}$. Из этого следует, что:

$$0 < \arg(z) < \pi \quad \Rightarrow \quad 0 < \frac{\arg(z)}{2} < \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом:

$$0 < \arg(\sqrt{z}) < \frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

Множество $\sqrt{z}$ будет расположено на круге радиуса 1, с аргументом от 0 до $\frac{\pi}{2}$, но не включая 0 и $\frac{\pi}{2}$.

в) $|z| = 1, \; -\frac{2\pi}{3} \leq \arg(z) \leq 0$

1. Модуль $\sqrt{z}$:

Как и в предыдущих случаях, так как $|z| = 1$, то:

$$|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|} = \sqrt{1} = 1.$$

2. Аргумент $\sqrt{z}$:

По аналогии с предыдущими примерами, $\arg(\sqrt{z}) = \frac{\arg(z)}{2}$. Из этого:

$$-\frac{2\pi}{3} \leq \arg(z) \leq 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\arg(z)}{2} \leq 0.$$

Таким образом:

$$-\frac{\pi}{3} \leq \arg(\sqrt{z}) \leq 0.$$

Ответ:

Множество $\sqrt{z}$ будет расположено на круге радиуса 1, с аргументом от $-\frac{\pi}{3}$ до 0.

г) $|z| = 1, \; -\frac{\pi}{4} \leq \arg(z) \leq \pi$

1. Модуль $\sqrt{z}$:

Как и во всех предыдущих случаях, $|\sqrt{z}| = 1$.

2. Аргумент $\sqrt{z}$:

Используем тот же принцип, что и для предыдущих случаев. Мы имеем:

$$-\frac{\pi}{4} \leq \arg(z) \leq \pi \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{8} \leq \frac{\arg(z)}{2} \leq \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом:

$$-\frac{\pi}{8} \leq \arg(\sqrt{z}) \leq \frac{\pi}{2}.$$

Ответ:

Множество $\sqrt{z}$ будет расположено на круге радиуса 1, с аргументом от $-\frac{\pi}{8}$ до $\frac{\pi}{2}$.