ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите те значения параметра а, при которых:

a) уравнение z² — 2z + а = 0 имеет корень z = i;

б) уравнение z² — 8iz + а = 0 имеет корень 3 — i;

в) уравнение z² + 6z + а = 0 имеет корень -i;

г) уравнение z² + 10iz + а = 0 имеет корень -10 + i.

а) Уравнение $z^2 — 2z + a = 0$ имеет корень $z = i$;

$$i^2 — 2i + a = 0;$$ $$-1 — 2i + a = 0;$$ $$a = 1 + 2i;$$

Ответ: $1 + 2i$.

б) Уравнение $z^2 — 8iz + a = 0$ имеет корень $z = 3 — i$;

$$(3 — i)^2 — 8i(3 — i) + a = 0;$$ $$9 — 6i + i^2 — 24i + 8i^2 + a = 0;$$ $$9 — 30i — 1 — 8 + a = 0;$$ $$-30i + a = 0;$$ $$a = 30i;$$

Ответ: $30i$.

в) Уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $z = -i$;

$$(-i)^2 + 6(-i) + a = 0;$$ $$i^2 — 6i + a = 0;$$ $$-1 — 6i + a = 0;$$ $$a = 1 + 6i;$$

Ответ: $1 + 6i$.

г) Уравнение $z^2 + 10iz + a = 0$ имеет корень $z = -10 + i$;

$$(-10 + i)^2 + 10i(-10 + i) + a = 0;$$ $$i^2 — 20i + 100 — 100i + 10i^2 + a = 0;$$ $$-1 — 120i + 100 — 10 + a = 0;$$ $$89 — 120i + a = 0;$$ $$a = -89 + 120i;$$

Ответ: $-89 + 120i$.

а) Уравнение $z^2 — 2z + a = 0$ имеет корень $z = i$

Подставим $z = i$ в исходное уравнение $z^2 — 2z + a = 0$. Получим:

$$i^2 — 2i + a = 0$$

Вычислим $i^2$:

$$i^2 = -1$$

Подставляем это значение:

$$-1 — 2i + a = 0$$

Переносим все числа в одну сторону:

$$a = 1 + 2i$$

Ответ: $a = 1 + 2i$.

б) Уравнение $z^2 — 8iz + a = 0$ имеет корень $z = 3 — i$

Подставим $z = 3 — i$ в уравнение $z^2 — 8iz + a = 0$:

$$(3 — i)^2 — 8i(3 — i) + a = 0$$

Начнём с вычисления $(3 — i)^2$:

$$(3 — i)^2 = 3^2 — 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 — 6i — 1 = 8 — 6i$$

Далее, вычислим $-8i(3 — i)$:

$$-8i(3 — i) = -8i \cdot 3 + 8i^2 = -24i + 8(-1) = -24i — 8$$

Теперь подставим эти результаты в уравнение:

$$(8 — 6i) — 24i — 8 + a = 0$$

Упростим выражение:

$$8 — 6i — 24i — 8 + a = 0$$ $$-30i + a = 0$$

Переносим $a$ на другую сторону:

$$a = 30i$$

Ответ: $a = 30i$.

в) Уравнение $z^2 + 6z + a = 0$ имеет корень $z = -i$

Подставим $z = -i$ в уравнение $z^2 + 6z + a = 0$:

$$(-i)^2 + 6(-i) + a = 0$$

Вычислим $(-i)^2$:

$$(-i)^2 = i^2 = -1$$

Подставим это значение в уравнение:

$$-1 + 6(-i) + a = 0$$ $$-1 — 6i + a = 0$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$a = 1 + 6i$$

Ответ: $a = 1 + 6i$.

г) Уравнение $z^2 + 10iz + a = 0$ имеет корень $z = -10 + i$

Подставим $z = -10 + i$ в уравнение $z^2 + 10iz + a = 0$:

$$(-10 + i)^2 + 10i(-10 + i) + a = 0$$

Начнём с вычисления $(-10 + i)^2$:

$$(-10 + i)^2 = (-10)^2 — 2 \cdot (-10) \cdot i + i^2 = 100 + 20i — 1 = 99 + 20i$$

Далее, вычислим $10i(-10 + i)$:

$$10i(-10 + i) = 10i \cdot (-10) + 10i \cdot i = -100i + 10i^2 = -100i + 10(-1) = -100i — 10$$

Подставим эти результаты в уравнение:

$$(99 + 20i) + (-100i — 10) + a = 0$$

Упростим выражение:

$$99 + 20i — 100i — 10 + a = 0$$ $$89 — 80i + a = 0$$

Переносим $a$ на другую сторону:

$$a = -89 + 120i$$

Ответ: $a = -89 + 120i$.

Итоговые ответы:

а) $a = 1 + 2i$

б) $a = 30i$

в) $a = 1 + 6i$

г) $a = -89 + 120i$