ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите те значения параметра а, при которых:

a) уравнение z² + az + 5 = 0 имеет корень i;

б) уравнение z² + az + 13 = 0 имеет корень -2i;

в) уравнение z² + az + 24i = 0 имеет корень 1 + i;

г) уравнение z² + аz + 1 + i = 0 имеет корень -3 + 2i.

Найти те значения параметра $a$, при которых:

а) Уравнение $z^2+az+5=0$ имеет корень $z=i$;

$$i^2+ai+5=0;$$$$-1+ai+5=0;$$$$ai=-4;$$$$a=\frac{-4}{i}=\frac{-4i}{i^2}=\frac{-4i}{-1}=4i;$$

Ответ: $4i$.

б) Уравнение $z^2+az+13=0$ имеет корень $z=-2i$;

$$(-2i{)}^2+a(-2i)+13=0;$$$$(2i{)}^2-2ai+13=0;$$$$-4-2ai+13=0;$$$$2ai=9;$$$$a=\frac{9}{2i}=\frac{9i}{2i^2}=\frac{9i}{-2}=-4.5i;$$

Ответ: $-4.5i$.

в) Уравнение $z^2+az+24i=0$ имеет корень $z=1+i$;

$$(1+i{)}^2+a(1+i)+24i=0;$$$$1+2i+i^2+a+ai+24i=0;$$$$1+2i-1+a+ai+24i=0;$$$$a(1+i)=-26i;$$$$a=\frac{-26i}{1+i}=\frac{-26i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{-26i+26i^2}{1-i^2};$$$$a=\frac{-26i-26}{1+1}=\frac{-26-26i}{2}=-13-13i;$$

Ответ: $-13-13i$.

г) Уравнение $z^2+az+1+i=0$ имеет корень $z=-3+2i$;

$$(-3+2i{)}^2+a(-3+2i)+1+i=0;$$$$9-12i+4i^2-3a+2ai+1+i=0;$$$$9-12i-4-3a+2ai+1+i=0;$$$$4-11i-3a+2ai=0;$$$$a(2i-3)=-6+11i;$$$$a=\frac{-6+11i}{2i-3}=\frac{(2i+3)(-6+11i)}{(2i-3)(2i+3)}=\frac{-12i+22i^2-18+33i}{4i^2-9};$$$$a=\frac{-12i-22-18+33i}{-4-9}=\frac{21i-40}{-13}=\frac{40-21i}{13};$$

Ответ: $\frac{40-21i}{13}$.

а) Уравнение $z^2+az+5=0$ имеет корень $z=i$:

Подставим корень $z=i$ в уравнение $z^2+az+5=0$:

$$i^2+ai+5=0$$

Известно, что $i^2=-1$, поэтому получаем:

$$-1+ai+5=0$$

Упростим:

$$ai+4=0$$

Переносим 4 на правую сторону:

$$ai=-4$$

Разделим обе части на $i$, чтобы найти $a$:

$$a=\frac{-4}{i}$$

Для удобства умножим числитель и знаменатель на $i$ (умножение на $i$ в числителе и знаменателе эквивалентно умножению на 1):

$$a=\frac{-4i}{i^2}$$

Поскольку $i^2=-1$, это дает:

$$a=\frac{-4i}{-1}=4i$$

Ответ: $a=4i$.

б) Уравнение $z^2+az+13=0$ имеет корень $z=-2i$:

Подставим корень $z=-2i$ в уравнение $z^2+az+13=0$:

$$(-2i{)}^2+a(-2i)+13=0$$

Посчитаем $(-2i{)}^2$. Это даёт:

$$4i^2=-4$$

Таким образом, уравнение становится:

$$-4-2ai+13=0$$

Упростим:

$$9-2ai=0$$

Переносим $9$ на правую сторону:

$$-2ai=-9$$

Разделим обе части на $-2i$, чтобы найти $a$:

$$a=\frac{9}{2i}$$

Для удобства умножим числитель и знаменатель на $i$:

$$a=\frac{9i}{2i^2}$$

Поскольку $i^2=-1$, это даёт:

$$a=\frac{9i}{-2}=-\frac{9i}{2}$$

Ответ: $a=-\frac{9i}{2}$.

в) Уравнение $z^2+az+24i=0$ имеет корень $z=1+i$:

Подставим корень $z=1+i$ в уравнение $z^2+az+24i=0$:

$$(1+i{)}^2+a(1+i)+24i=0$$

Посчитаем $(1+i{)}^2$:

$$(1+i{)}^2=1^2+2i+i^2=1+2i-1=2i$$

Подставим это в уравнение:

$$2i+a(1+i)+24i=0$$

Упростим:

$$2i+a+ai+24i=0$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$a+ai+26i=0$$

Группируем все члены с $a$ и без $a$:

$$a(1+i)=-26i$$

Разделим обе части на $1+i$, чтобы найти $a$:

$$a=\frac{-26i}{1+i}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $1-i$:

$$a=\frac{-26i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$$

Посчитаем знаменатель:

$$(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$$

Теперь посчитаем числитель:

$$-26i(1-i)=-26i+26i^2=-26i-26$$

Таким образом, получаем:

$$a=\frac{-26-26i}{2}=-13-13i$$

Ответ: $a=-13-13i$.

г) Уравнение $z^2+az+1+i=0$ имеет корень $z=-3+2i$:

Подставим корень $z=-3+2i$ в уравнение $z^2+az+1+i=0$:

$$(-3+2i{)}^2+a(-3+2i)+1+i=0$$

Посчитаем $(-3+2i{)}^2$:

$$(-3+2i{)}^2=(-3{)}^2+2(-3)(2i)+(2i{)}^2=9-12i-4=5-12i$$

Подставим это в уравнение:

$$5-12i+a(-3+2i)+1+i=0$$

Упростим:

$$6-12i+a(-3+2i)+i=0$$

Группируем все члены с $a$ и без $a$:

$$6-12i+a(-3+2i)+i=0$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$a(-3+2i)=-6+11i$$

Разделим обе части на $-3+2i$, чтобы найти $a$:

$$a=\frac{-6+11i}{-3+2i}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $-3-2i$:

$$a=\frac{(-3-2i)(-6+11i)}{(-3+2i)(-3-2i)}$$

Посчитаем знаменатель:

$$(-3+2i)(-3-2i)=(-3{)}^2-(2i{)}^2=9-(-4)=9+4=13$$

Посчитаем числитель:

$$(-3-2i)(-6+11i)=18-33i+12i-22i^2=18-21i+22=40-21i$$

Таким образом, получаем:

$$a=\frac{40-21i}{13}$$

Ответ: $a=\frac{40-21i}{13}$.