ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение ах² + 8х + 16 = 0:

a) имеет только один корень;

б) имеет действительный положительный корень;

в) имеет два действительных корня разных знаков;

г) имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1.

Дано уравнение:

$$ax^2 + 8x + 16 = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot a \cdot 16 = 64 — 64a;$$

а) Уравнение имеет только один корень:

$$64 — 64a = 0;$$ $$1 — a = 0;$$ $$a = 1;$$

Уравнение становится линейным при:

$$a = 0;$$

Ответ: $a = 1; \, a = 0.$

б) Уравнение имеет действительный положительный корень:

$$-8 + \sqrt{64 — 64a} > 0;$$ $$-8 + 8\sqrt{1 — a} > 0;$$ $$\sqrt{1 — a} > 1;$$ $$1 — a > 1;$$ $$a < 0;$$

Ответ: $a < 0.$

в) Уравнение имеет два действительных корня разных знаков:

$$\sqrt{64 — 64a} > 8;$$ $$8\sqrt{1 — a} > 8;$$ $$\sqrt{1 — a} > 1;$$ $$1 — a > 1;$$ $$a < 0;$$

Ответ: $a < 0.$

г) Уравнение имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна единице:

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 — 64a}}{2a} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{1 — a}}{2a} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{1 — a}}{a};$$ $$x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{-4 — 4\sqrt{1 — a}}{a} \right)^2 + \left( \frac{-4 + 4\sqrt{1 — a}}{a} \right)^2 = 1;$$ $$\frac{(16 + 8\sqrt{1 — a} + 16(1 — a)) + (16(1 — a) — 8\sqrt{1 — a} + 16)}{a^2} = 1;$$ $$32(1 — a) + 32 = a^2;$$ $$32 — 32a + 32 = a^2;$$ $$a^2 + 32a — 64 = 0;$$ $$D = 32^2 + 4 \cdot 64 = 1024 + 256 = 1280 = 256 \cdot 5, \text{тогда:}$$ $$a = \frac{-32 \pm 16\sqrt{5}}{2} = -16 \pm 8\sqrt{5};$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — a > 0;$$ $$a < 1;$$

Ответ: $a = -16 — 8\sqrt{5}.$

Дано уравнение:

$$ax^2 + 8x + 16 = 0$$

Для этого уравнения вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 \cdot a \cdot 16 = 64 — 64a$$

Теперь будем рассматривать различные случаи, связанные с этим дискриминантом.

а) Уравнение имеет только один корень

Чтобы у уравнения был только один корень, дискриминант $D$ должен быть равен нулю:

$$D = 0$$

Из уравнения для дискриминанта:

$$64 — 64a = 0$$

Решаем его относительно $a$:

$$64 = 64a$$ $$a = 1$$

Ответ:

$$a = 1$$

Кроме того, уравнение $ax^2 + 8x + 16 = 0$ становится линейным (имеет только один корень, если $a = 0$). Это происходит потому, что при $a = 0$ уравнение превращается в:

$$8x + 16 = 0$$

Что является линейным уравнением, решение которого:

$$x = -\frac{16}{8} = -2$$

Ответ: $a = 1; \, a = 0$.

б) Уравнение имеет действительный положительный корень

Чтобы у уравнения был действительный положительный корень, нужно рассматривать выражение для корней уравнения. Корни уравнения $ax^2 + 8x + 16 = 0$ вычисляются по формуле для корней квадратного уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения $b = 8$, $D = 64 — 64a$, и $a$ в формулу:

$$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 — 64a}}{2a}$$

Нам нужно, чтобы хотя бы один корень был положительным. Рассмотрим первый корень:

$$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{64 — 64a}}{2a}$$

Требуем, чтобы $x_1 > 0$, то есть:

$$-8 + \sqrt{64 — 64a} > 0$$

Переносим $8$ в правую часть:

$$\sqrt{64 — 64a} > 8$$

Возводим обе части неравенства в квадрат:

$$64 — 64a > 64$$

Упрощаем:

$$-64a > 0$$

Это означает, что:

$$a < 0$$

Ответ:

$$a < 0$$

в) Уравнение имеет два действительных корня разных знаков

Чтобы у уравнения были два действительных корня разных знаков, нам нужно, чтобы произведение корней было отрицательным. Рассмотрим выражение для корней:

$$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{64 — 64a}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-8 — \sqrt{64 — 64a}}{2a}$$

Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ по формуле Виета равно:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{16}{a}$$

Если корни разных знаков, то произведение должно быть отрицательным, то есть:

$$\frac{16}{a} < 0$$

Это условие выполняется, если:

$$a < 0$$

Ответ:

$$a < 0$$

г) Уравнение имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна единице

Для того чтобы у уравнения было два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1, используем формулу для корней уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 — 64a}}{2a}$$

Эти корни можно выразить так:

$$x_1 = \frac{-4 — 4\sqrt{1 — a}}{a}, \quad x_2 = \frac{-4 + 4\sqrt{1 — a}}{a}$$

Нам нужно, чтобы сумма квадратов этих корней была равна единице:

$$x_1^2 + x_2^2 = 1$$

Теперь подставим выражения для $x_1$ и $x_2$:

$$\left( \frac{-4 — 4\sqrt{1 — a}}{a} \right)^2 + \left( \frac{-4 + 4\sqrt{1 — a}}{a} \right)^2 = 1$$

Рассмотрим первый квадрат:

$$\left( \frac{-4 — 4\sqrt{1 — a}}{a} \right)^2 = \frac{(16 + 8\sqrt{1 — a} + 16(1 — a))}{a^2}$$

Рассмотрим второй квадрат:

$$\left( \frac{-4 + 4\sqrt{1 — a}}{a} \right)^2 = \frac{(16 — 8\sqrt{1 — a} + 16(1 — a))}{a^2}$$

Теперь сложим оба выражения:

$$x_1^2 + x_2^2 = \frac{(16 + 8\sqrt{1 — a} + 16(1 — a)) + (16 — 8\sqrt{1 — a} + 16(1 — a))}{a^2}$$

Упрощаем:

$$x_1^2 + x_2^2 = \frac{32(1 — a) + 32}{a^2}$$

И приравниваем к 1:

$$\frac{32(1 — a) + 32}{a^2} = 1$$

Умножаем обе части на $a^2$:

$$32(1 — a) + 32 = a^2$$

Раскроем скобки:

$$32 — 32a + 32 = a^2$$

Упрощаем:

$$a^2 + 32a — 64 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = 32^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 1024 + 256 = 1280$$

Теперь найдем корни уравнения:

$$a = \frac{-32 \pm \sqrt{1280}}{2} = \frac{-32 \pm 16\sqrt{5}}{2}$$

Упростим:

$$a = -16 \pm 8\sqrt{5}$$

Кроме того, выражение под корнем в корнях уравнения имеет смысл, только если $1 — a > 0$, то есть:

$$a < 1$$

Ответ:

$$a = -16 — 8\sqrt{5}$$

Итоговые ответы:

• Уравнение имеет только один корень: $a = 1; \, a = 0$
• Уравнение имеет действительный положительный корень: $a < 0$
• Уравнение имеет два действительных корня разных знаков: $a < 0$
• Уравнение имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна единице: $a = -16 — 8\sqrt{5}$