ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

a) i и -i;

б) 7 + 2i и 7 — 2i;

в) 7i и -7i;

г) 1 + i и 1 — i.

Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

$b^2 — 4ac = D$;
$4ac = b^2 — D$;
$c = \frac{b^2 — D}{4a}$;

а) $i$ и $-i$;

$$x = \pm i = \frac{0 \pm 2i}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2};$$

$a = 1$ и $b = 0$;

$$c = \frac{0^2 + 4}{4 \cdot 1} = \frac{4}{4} = 1;$$

Ответ: $x^2 + 1 = 0$.

б) $7 + 2i$ и $7 — 2i$;

$$x = 7 + 2i = \frac{14 \pm 4i}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{-16}}{2};$$

$a = 1$ и $b = -14$;

$$c = \frac{14^2 + 16}{4 \cdot 1} = \frac{196 + 16}{4} = \frac{212}{4} = 53;$$

Ответ: $x^2 — 14x + 53 = 0$.

в) $7i$ и $-7i$;

$$x = \pm 7i = \frac{0 \pm 14i}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-196}}{2};$$

$a = 1$ и $b = 0$;

$$c = \frac{0^2 + 196}{4 \cdot 1} = \frac{196}{4} = 49;$$

Ответ: $x^2 + 49 = 0$.

г) $1 + i$ и $1 — i$;

$$x = 1 + i = \frac{2 \pm 2i}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2};$$

$a = 1$ и $b = -2$;

$$c = \frac{2^2 + 4}{4 \cdot 1} = \frac{4 + 4}{4} = \frac{8}{4} = 2;$$

Ответ: $x^2 — 2x + 2 = 0$.

Дано, что корни квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ связаны с коэффициентами $b$ и $c$ следующим образом:

Дискриминант уравнения $b^2 — 4ac = D$.

Выражение для $c$ через $b$ и дискриминант:

$$4ac = b^2 — D \quad \Rightarrow \quad c = \frac{b^2 — D}{4a}.$$

Мы будем составлять квадратные уравнения с конкретными корнями. Для этого будем использовать формулы и рассчитывать соответствующие значения $b$ и $c$ для каждого случая.

а) Корни $i$ и $-i$:

Известно, что корни квадратного уравнения в виде $x = \pm i$ можно представить как:

$$x = \pm i = \frac{0 \pm 2i}{2} = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}.$$

Таким образом, корни уравнения — это $i$ и $-i$, что соответствует числам с мнимой частью, а сумма и произведение этих корней будут следующими:

• Сумма корней: $i + (-i) = 0$.
• Произведение корней: $i \cdot (-i) = -i^2 = 1$.

Вспоминаем, что для квадратного уравнения с корнями $x_1$ и $x_2$ его можно записать как:

$$x^2 — (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0.$$

В нашем случае сумма корней равна 0, а произведение корней равно 1, поэтому уравнение примет вид:

$$x^2 + 1 = 0.$$

Таким образом, уравнение с корнями $i$ и $-i$ — это $x^2 + 1 = 0$.

Рассчитываем коэффициенты $b$ и $c$ для этого уравнения:

• $a = 1$ (коэффициент перед $x^2$),
• $b = 0$ (сумма корней),
• $c = 1$ (произведение корней).

Ответ: $x^2 + 1 = 0$.

б) Корни $7 + 2i$ и $7 — 2i$:

Для корней $x = 7 + 2i$ и $x = 7 — 2i$ также используем формулу для записи квадратного уравнения через сумму и произведение корней. Сначала вычислим их:

• Сумма корней: $(7 + 2i) + (7 — 2i) = 14$,
• Произведение корней: $(7 + 2i) \cdot (7 — 2i) = 7^2 — (2i)^2 = 49 — (-4) = 53$.

Следовательно, квадратное уравнение с этими корнями будет:

$$x^2 — (7 + 2i + 7 — 2i)x + (7 + 2i)(7 — 2i) = 0,$$

что упрощается до:

$$x^2 — 14x + 53 = 0.$$

Теперь проверим, что это уравнение удовлетворяет форму $x^2 + bx + c = 0$:

• $a = 1$,
• $b = -14$,
• $c = 53$.

Ответ: $x^2 — 14x + 53 = 0$.

в) Корни $7i$ и $-7i$:

Для корней $x = 7i$ и $x = -7i$ повторим шаги:

• Сумма корней: $7i + (-7i) = 0$,
• Произведение корней: $7i \cdot (-7i) = -49i^2 = 49$.

Таким образом, квадратное уравнение с этими корнями будет:

$$x^2 — 0x + 49 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 49 = 0.$$

Проверяем коэффициенты:

• $a = 1$,
• $b = 0$,
• $c = 49$.

Ответ: $x^2 + 49 = 0$.

г) Корни $1 + i$ и $1 — i$:

Для корней $x = 1 + i$ и $x = 1 — i$ выполняем вычисления:

• Сумма корней: $(1 + i) + (1 — i) = 2$,
• Произведение корней: $(1 + i) \cdot (1 — i) = 1^2 — i^2 = 1 — (-1) = 2$.

Следовательно, квадратное уравнение с этими корнями будет:

$$x^2 — (1 + i + 1 — i)x + (1 + i)(1 — i) = 0,$$

что упрощается до:

$$x^2 — 2x + 2 = 0.$$

Проверяем коэффициенты:

• $a = 1$,
• $b = -2$,
• $c = 2$.

Ответ: $x^2 — 2x + 2 = 0$.

Таким образом, все решения уравнений для каждого случая:

а) $x^2 + 1 = 0$,

б) $x^2 — 14x + 53 = 0$,

в) $x^2 + 49 = 0$,

г) $x^2 — 2x + 2 = 0$.