ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) z² — 2z + 2 = 0;

б) z² + 4z + 5 = 0;

в) z² — 6z + 25 = 0;

г) z² + 10z + 61 = 0.

а) $z^2 — 2z + 2 = 0$;
$D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$, тогда:

$$z = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{-1}}{2} = 1 \pm \sqrt{-1} = 1 \pm i;$$

Ответ: $1 \pm i$.

б) $z^2 + 4z + 5 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 5 = 16 — 20 = -4$, тогда:

$$z = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{-1}}{2} = -2 \pm \sqrt{-1} = -2 \pm i;$$

Ответ: $-2 \pm i$.

в) $z^2 — 6z + 25 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 25 = 36 — 100 = -64$, тогда:

$$z = \frac{6 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{6 \pm 8\sqrt{-1}}{2} = 3 \pm 4\sqrt{-1} = 3 \pm 4i;$$

Ответ: $3 \pm 4i$.

г) $z^2 + 10z + 61 = 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 61 = 100 — 244 = -144$, тогда:

$$z = \frac{-10 \pm \sqrt{-144}}{2} = \frac{-10 \pm 12\sqrt{-1}}{2} = -5 \pm 6\sqrt{-1} = -5 \pm 6i;$$

Ответ: $-5 \pm 6i$.

Дано: квадратные уравнения, которые нужно решить. Применяем стандартную формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$z^2 + bz + c = 0 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}.$$

Здесь $D = b^2 — 4ac$ — дискриминант, который позволяет нам определить тип корней.

а) $z^2 — 2z + 2 = 0$

Рассмотрим уравнение $z^2 — 2z + 2 = 0$.

• $a = 1$, $b = -2$, $c = 2$.

Шаг 1: Найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4.$$

Дискриминант отрицательный, это означает, что у уравнения есть два комплексных корня.

Шаг 2: Найдем корни уравнения:

Используем формулу для корней:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}.$$

Так как $\sqrt{-4} = 2i$, получаем:

$$z = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i.$$

Ответ: $1 \pm i$.

б) $z^2 + 4z + 5 = 0$

Рассмотрим уравнение $z^2 + 4z + 5 = 0$.

• $a = 1$, $b = 4$, $c = 5$.

Шаг 1: Найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4.$$

Дискриминант отрицательный, что также означает наличие комплексных корней.

Шаг 2: Найдем корни уравнения:

Используем формулу для корней:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2i}{2}.$$

Рассчитываем:

$$z = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i.$$

Ответ: $-2 \pm i$.

в) $z^2 — 6z + 25 = 0$

Рассмотрим уравнение $z^2 — 6z + 25 = 0$.

• $a = 1$, $b = -6$, $c = 25$.

Шаг 1: Найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 — 100 = -64.$$

Дискриминант опять отрицательный, значит, у уравнения есть комплексные корни.

Шаг 2: Найдем корни уравнения:

Используем формулу для корней:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{-64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{-64}}{2}.$$

Так как $\sqrt{-64} = 8i$, получаем:

$$z = \frac{6 \pm 8i}{2}.$$

Рассчитываем:

$$z = 3 \pm 4i.$$

Ответ: $3 \pm 4i$.

г) $z^2 + 10z + 61 = 0$

Рассмотрим уравнение $z^2 + 10z + 61 = 0$.

• $a = 1$, $b = 10$, $c = 61$.

Шаг 1: Найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 61 = 100 — 244 = -144.$$

Дискриминант снова отрицательный, значит, корни комплексные.

Шаг 2: Найдем корни уравнения:

Используем формулу для корней:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{-144}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 12i}{2}.$$

Рассчитываем:

$$z = \frac{-10 \pm 12i}{2} = -5 \pm 6i.$$

Ответ: $-5 \pm 6i$.

Итог:

1. $z^2 — 2z + 2 = 0$ имеет корни $1 \pm i$.
2. $z^2 + 4z + 5 = 0$ имеет корни $-2 \pm i$.
3. $z^2 — 6z + 25 = 0$ имеет корни $3 \pm 4i$.
4. $z^2 + 10z + 61 = 0$ имеет корни $-5 \pm 6i$.