ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 35 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) (x/(x^2-2x+1) — (x+2)/(x^2+x-2)) * 1/(2x-2)^-2;

б) ((y+2)/(y^2-y-6) — y/(y^2-6y+9))^-1 : (3y-9)^2.

а)

$$\left( \frac{x}{x^2 — 2x + 1} — \frac{x + 2}{x^2 + x — 2} \right) \cdot \frac{1}{(2x — 2)^{-2}} =$$ $$= \left( \frac{x}{(x-1)^2} — \frac{x+2}{x^2 — x + 2x — 2} \right) \cdot (2x — 2)^2 =$$ $$= \left( \frac{x}{(x-1)^2} — \frac{x+2}{x(x-1) + 2(x-1)} \right) \cdot (2x — 2)^2 =$$ $$= \left( \frac{x \cdot (x+2)}{(x-1)^2 \cdot (x+2)} — \frac{(x+2) \cdot (x-1)}{(x-1)(x+2)(x-1)} \right) \cdot 2^2 \cdot (x-1)^2 =$$ $$= \frac{x^2 + 2x — (x^2 — x + 2x — 2)}{(x-1)^2 \cdot (x+2)} \cdot 4(x-1)^2 = \frac{x+2}{x+2} \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4;$$

Ответ: $4$.

б)

$$\left( \frac{y+2}{y^2 — y — 6} — \frac{y}{y^2 — 6y + 9} \right)^{-1} : (3y — 9)^2 =$$ $$= \left( \frac{y+2}{y^2 + 2y — 3y — 6} — \frac{y}{(y-3)^2} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{(3y-9)^2} =$$ $$= \left( \frac{y+2}{y(y+2) — 3(y+2)} — \frac{y}{(y-3)^2} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{3^2 \cdot (y-3)^2} =$$ $$= \left( \frac{(y+2) \cdot (y-3)}{(y-3)(y+2)(y-3)} — \frac{y(y+2)}{(y-3)^2(y+2)} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{9(y-3)^2} =$$ $$= \left( \frac{y^2 — 3y + 2y — 6 — (y^2 + 2y)}{(y-3)^2(y+2)} \right)^{-1} \cdot \frac{1}{9(y-3)^2} =$$ $$= \frac{(y-3)^2(y+2)}{-3y — 6} \cdot \frac{1}{9(y-3)^2} = \frac{y+2}{-3(y+2) \cdot 9} = \frac{1}{-3 \cdot 9} = -\frac{1}{27};$$

Ответ: $-\frac{1}{27}$.

а)

$$\left( \frac{x}{x^2 — 2x + 1} — \frac{x + 2}{x^2 + x — 2} \right) \cdot \frac{1}{(2x — 2)^{-2}}$$

Шаг 1: Преобразование выражения

Исходная дробь $\frac{x}{x^2 — 2x + 1}$:

Обратите внимание, что $x^2 — 2x + 1$ можно разложить как полный квадрат:

$$x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2.$$

Таким образом, выражение $\frac{x}{x^2 — 2x + 1}$ можно переписать как:

$$\frac{x}{(x — 1)^2}.$$

Дробь $\frac{x + 2}{x^2 + x — 2}$:

Для разложения $x^2 + x — 2$ на множители можно найти корни этого квадратного уравнения:

$$x^2 + x — 2 = (x — 1)(x + 2).$$

Таким образом, дробь $\frac{x + 2}{x^2 + x — 2}$ можно переписать как:

$$\frac{x + 2}{(x — 1)(x + 2)}.$$

Заметьте, что $x + 2$ в числителе и знаменателе можно сократить.

Умножение на $\frac{1}{(2x — 2)^{-2}}$:

Мы можем переписать $2x — 2$ как $2(x — 1)$, и затем $(2x — 2)^{-2} = \frac{1}{(2(x — 1))^2}$, так что:

$$\frac{1}{(2x — 2)^{-2}} = (2(x — 1))^2 = 4(x — 1)^2.$$

Таким образом, выражение преобразуется в следующее:

$$\left( \frac{x}{(x — 1)^2} — \frac{x + 2}{(x — 1)(x + 2)} \right) \cdot 4(x — 1)^2.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Для того чтобы вычесть две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $\frac{x}{(x — 1)^2}$ и $\frac{x + 2}{(x — 1)(x + 2)}$ — это $(x — 1)^2(x + 2)$.

Приведем обе дроби к этому знаменателю:

Первая дробь уже имеет знаменатель $(x — 1)^2$, поэтому умножаем её числитель и знаменатель на $(x + 2)$:

$$\frac{x}{(x — 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x — 1)^2(x + 2)} = \frac{x(x + 2)}{(x — 1)^2(x + 2)}.$$

Вторая дробь $\frac{x + 2}{(x — 1)(x + 2)}$ имеет знаменатель $(x — 1)(x + 2)$, поэтому умножаем её числитель и знаменатель на $(x — 1)$:

$$\frac{x + 2}{(x — 1)(x + 2)} = \frac{(x + 2)(x — 1)}{(x — 1)^2(x + 2)}.$$

Теперь у нас две дроби с одинаковым знаменателем:

$$\frac{x(x + 2)}{(x — 1)^2(x + 2)} — \frac{(x + 2)(x — 1)}{(x — 1)^2(x + 2)}.$$

Шаг 3: Вычитание дробей

Вычитаем числители двух дробей:

$$x(x + 2) — (x + 2)(x — 1).$$

Раскроем скобки:

$$x(x + 2) = x^2 + 2x, \quad (x + 2)(x — 1) = x^2 — x + 2x — 2 = x^2 + x — 2.$$

Теперь вычитаем:

$$(x^2 + 2x) — (x^2 + x — 2) = x^2 + 2x — x^2 — x + 2 = x + 2.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\frac{x + 2}{(x — 1)^2(x + 2)}.$$

Сокращаем $(x + 2)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1}{(x — 1)^2}.$$

Шаг 4: Умножение на $4(x — 1)^2$

Теперь умножаем результат на $4(x — 1)^2$:

$$\frac{1}{(x — 1)^2} \cdot 4(x — 1)^2 = 4.$$

Ответ:

Значение выражения равно $4$.

б)

$$\left( \frac{y+2}{y^2 — y — 6} — \frac{y}{y^2 — 6y + 9} \right)^{-1} : (3y — 9)^2$$

Шаг 1: Преобразование выражений

Дробь $\frac{y+2}{y^2 — y — 6}$:

Разложим знаменатель $y^2 — y — 6$ на множители:

$$y^2 — y — 6 = (y — 3)(y + 2).$$

Таким образом, дробь $\frac{y+2}{y^2 — y — 6}$ можно переписать как:

$$\frac{y+2}{(y — 3)(y + 2)}.$$

Заметим, что $y + 2$ сокращается:

$$\frac{1}{y — 3}.$$

Дробь $\frac{y}{y^2 — 6y + 9}$:

Разложим знаменатель $y^2 — 6y + 9$ как полный квадрат:

$$y^2 — 6y + 9 = (y — 3)^2.$$

Таким образом, дробь $\frac{y}{y^2 — 6y + 9}$ можно переписать как:

$$\frac{y}{(y — 3)^2}.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Теперь вычитаем две дроби:

$$\frac{1}{y — 3} — \frac{y}{(y — 3)^2}.$$

Приводим дроби к общему знаменателю $(y — 3)^2$:

$$\frac{1}{y — 3} = \frac{(y — 3)}{(y — 3)^2},$$

и теперь имеем:

$$\frac{(y — 3)}{(y — 3)^2} — \frac{y}{(y — 3)^2} = \frac{(y — 3) — y}{(y — 3)^2} = \frac{-3}{(y — 3)^2}.$$

Шаг 3: Инвертирование дроби

Теперь берем обратную дробь:

$$\left( \frac{-3}{(y — 3)^2} \right)^{-1} = \frac{(y — 3)^2}{-3}.$$

Шаг 4: Деление на $(3y — 9)^2$

Теперь делим на $(3y — 9)^2$. Заметим, что $3y — 9 = 3(y — 3)$, и, следовательно:

$$(3y — 9)^2 = 9(y — 3)^2.$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\frac{(y — 3)^2}{-3} \cdot \frac{1}{9(y — 3)^2} = \frac{1}{-3 \cdot 9} = -\frac{1}{27}.$$

Ответ:

Значение выражения равно $-\frac{1}{27}$.