ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $z = (1 + i)^{-4}$

б) $z = (1 + i)^{-6}$

в) $z = (1 — i)^{-10}$

г) $z=(1-i{)}^{-2}$

а) $z = (1 + i)^{-4}$

$$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-4} = (\sqrt{2})^{-4} \left( \cos \frac{-4\pi}{4} + i \sin \frac{-4\pi}{4} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^2} (\cos(-\pi) + i \sin -\pi) = \frac{1}{4} (\cos \pi — i \sin \pi) = \frac{1}{4} (-1 — 0i) = -\frac{1}{4};$$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) $z = (1 + i)^{-6}$

$$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-6} = (\sqrt{2})^{-6} \left( \cos \frac{-6\pi}{4} + i \sin \frac{-6\pi}{4} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^3} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{2} \right) \right) = \frac{1}{8} \left( \cos \frac{3\pi}{2} — i \sin \frac{3\pi}{2} \right);$$ $$z = \frac{1}{8} (0 — (-1)i) = \frac{1}{8} i;$$

Ответ: $\frac{1}{8} i$.

в) $z = (1 — i)^{-10}$

$$|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-10} = (\sqrt{2})^{-10} \left( \cos \frac{-10\pi}{4} — i \sin \frac{-10\pi}{4} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^5} \left( \cos \left( -\frac{5\pi}{2} \right) — i \sin \left( -\frac{5\pi}{2} \right) \right) = \frac{1}{32} \left( \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2} \right);$$ $$z = \frac{1}{32} (0 + 1i) = \frac{1}{32} i;$$

Ответ: $\frac{1}{32} i$.

г) $z = (1 — i)^{-2}$

$$|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \text{ тогда } a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4};$$ $$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-20} = (\sqrt{2})^{-20} \left( \cos \frac{-20\pi}{4} — i \sin \frac{-20\pi}{4} \right);$$ $$z = \frac{1}{2^{10}} (\cos(-5\pi) — i \sin(-5\pi)) = \frac{1}{1024} (\cos \pi + i \sin \pi);$$ $$z = \frac{1}{1024} (-1 + 0i) = -\frac{1}{1024};$$

Ответ: $-\frac{1}{1024}$.

а) $z = (1 + i)^{-4}$

Нахождение модуля и аргумента комплексного числа $1 + i$:

$$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Аргумент $a$ находим через арккосинус:

$$a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$$

Запись комплексного числа в полярной форме:

$$1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Возведение в степень $-4$:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-4}$$

Модуль возводится в степень $-4$, а аргумент умножается на $-4$:

$$z = (\sqrt{2})^{-4} \left( \cos \left( \frac{-4\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{-4\pi}{4} \right) \right)$$ $$z = \frac{1}{2^2} \left( \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) \right)$$

Вычисление значений тригонометрических функций:

$$\cos(-\pi) = -1, \quad \sin(-\pi) = 0$$ $$z = \frac{1}{4} (-1 + 0i) = -\frac{1}{4}$$

Ответ: $z = -\frac{1}{4}$

б) $z = (1 + i)^{-6}$

Нахождение модуля и аргумента комплексного числа $1 + i$:

$$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$$

Запись комплексного числа в полярной форме:

$$1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Возведение в степень $-6$:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-6}$$

Модуль возводится в степень $-6$, а аргумент умножается на $-6$:

$$z = (\sqrt{2})^{-6} \left( \cos \left( \frac{-6\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{-6\pi}{4} \right) \right)$$ $$z = \frac{1}{2^3} \left( \cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{3\pi}{2} \right) \right)$$

Вычисление значений тригонометрических функций:

$$\cos \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = 0, \quad \sin \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = -1$$ $$z = \frac{1}{8} \left( 0 + i \right) = \frac{1}{8} i$$

Ответ: $z = \frac{1}{8} i$

в) $z = (1 — i)^{-10}$

Нахождение модуля и аргумента комплексного числа $1 — i$:

$$|1 — i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \quad a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$$

Запись комплексного числа в полярной форме:

$$1 — i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Возведение в степень $-10$:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-10}$$

Модуль возводится в степень $-10$, а аргумент умножается на $-10$:

$$z = (\sqrt{2})^{-10} \left( \cos \left( \frac{-10\pi}{4} \right) — i \sin \left( \frac{-10\pi}{4} \right) \right)$$ $$z = \frac{1}{2^5} \left( \cos \left( -\frac{5\pi}{2} \right) — i \sin \left( -\frac{5\pi}{2} \right) \right)$$

Упрощаем аргумент:

$$\frac{-5\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}$$ $$z = \frac{1}{32} \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right)$$

Вычисление значений тригонометрических функций:

$$\cos \frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1$$ $$z = \frac{1}{32} (0 + i) = \frac{1}{32} i$$

Ответ: $z = \frac{1}{32} i$

г) $z = (1 — i)^{-20}$

Нахождение модуля и аргумента комплексного числа $1 — i$:

$$|1 — i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \quad a = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$$

Запись комплексного числа в полярной форме:

$$1 — i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$

Возведение в степень $-20$:

$$z = \left( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} — i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^{-20}$$

Модуль возводится в степень $-20$, а аргумент умножается на $-20$:

$$z = (\sqrt{2})^{-20} \left( \cos \left( \frac{-20\pi}{4} \right) — i \sin \left( \frac{-20\pi}{4} \right) \right)$$ $$z = \frac{1}{2^{10}} \left( \cos(-5\pi) — i \sin(-5\pi) \right)$$

Упрощаем аргумент:

$$-5\pi \equiv \pi \pmod{2\pi}$$ $$z = \frac{1}{1024} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right)$$

Вычисление значений тригонометрических функций:

$$\cos \pi = -1, \quad \sin \pi = 0$$ $$z = \frac{1}{1024} (-1 + 0i) = -\frac{1}{1024}$$

Ответ: $z = -\frac{1}{1024}$

Итоговые ответы:

а) $z = -\frac{1}{4}$

б) $z = \frac{1}{8} i$

в) $z = \frac{1}{32} i$

г) $z = -\frac{1}{1024}$