ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 36 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) ((v(x^3)-1)/(vx-1) + vx) : (x-1)/(vx-1) = vx + 1

б) (1+va)/(1-a) * ((1+v(a^3))/(1+va) — va) = 1-va

а) $\left( \frac{\sqrt{x^3} — 1}{\sqrt{x} — 1} + \sqrt{x} \right) : \frac{x — 1}{\sqrt{x} — 1} = \sqrt{x} + 1$;

$$\frac{\sqrt{x^3} — 1 + \sqrt{x}(\sqrt{x} — 1)}{\sqrt{x} — 1} \cdot \frac{\sqrt{x} — 1}{x — 1} = \sqrt{x} + 1;$$ $$\frac{\sqrt{x^3} — 1 + x — \sqrt{x}}{x — 1} = \sqrt{x} + 1;$$ $$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^2} — 1) + (x — 1)}{x — 1} = \sqrt{x} + 1;$$ $$\frac{(x — 1)(\sqrt{x} + 1)}{x — 1} = \sqrt{x} + 1;$$ $$\sqrt{x} + 1 = \sqrt{x} + 1;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{1 + \sqrt{a}}{1 — a} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}} — \sqrt{a} \right) = 1 — \sqrt{a}$;

$$\frac{1 + \sqrt{a}}{1 — a} \cdot \frac{1 + \sqrt{a^3} — \sqrt{a}(1 + \sqrt{a})}{1 + \sqrt{a}} = 1 — \sqrt{a};$$ $$\frac{1 + \sqrt{a^3} — \sqrt{a} — a}{1 — a} = 1 — \sqrt{a};$$ $$\frac{(1 — a) — \sqrt{a}(\sqrt{a^2} + 1)}{1 — a} = 1 — \sqrt{a};$$ $$\frac{(1 — a)(1 — \sqrt{a})}{1 — a} = 1 — \sqrt{a};$$ $$1 — \sqrt{a} = 1 — \sqrt{a};$$

Тождество доказано.

а)

$$\left( \frac{\sqrt{x^3} — 1}{\sqrt{x} — 1} + \sqrt{x} \right) : \frac{x — 1}{\sqrt{x} — 1} = \sqrt{x} + 1.$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Перепишем исходное выражение:

$$\left( \frac{\sqrt{x^3} — 1}{\sqrt{x} — 1} + \sqrt{x} \right) : \frac{x — 1}{\sqrt{x} — 1}.$$

Мы можем записать это как умножение на обратную дробь:

$$\left( \frac{\sqrt{x^3} — 1}{\sqrt{x} — 1} + \sqrt{x} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} — 1}{x — 1}.$$

Теперь преобразуем числитель $\frac{\sqrt{x^3} — 1}{\sqrt{x} — 1} + \sqrt{x}$. Для этого будем приводить к общему знаменателю.

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель для $\frac{\sqrt{x^3} — 1}{\sqrt{x} — 1}$ и $\sqrt{x}$ — это $\sqrt{x} — 1$, так что умножим второе слагаемое $\sqrt{x}$ на $\frac{\sqrt{x} — 1}{\sqrt{x} — 1}$:

$$\frac{\sqrt{x^3} — 1}{\sqrt{x} — 1} + \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x^3} — 1 + \sqrt{x}(\sqrt{x} — 1)}{\sqrt{x} — 1}.$$

Теперь раскроем скобки в числителе:

$$\sqrt{x}(\sqrt{x} — 1) = x — \sqrt{x},$$

и получаем:

$$\frac{\sqrt{x^3} — 1 + x — \sqrt{x}}{\sqrt{x} — 1}.$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Теперь у нас есть числитель:

$$\sqrt{x^3} — 1 + x — \sqrt{x}.$$

Преобразуем $\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}$, и получим:

$$x\sqrt{x} — 1 + x — \sqrt{x}.$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x} + x — 1}{\sqrt{x} — 1}.$$

Шаг 4: Умножение на $\frac{\sqrt{x} — 1}{x — 1}$

Теперь умножаем на $\frac{\sqrt{x} — 1}{x — 1}$:

$$\frac{x\sqrt{x} — \sqrt{x} + x — 1}{\sqrt{x} — 1} \cdot \frac{\sqrt{x} — 1}{x — 1}.$$

Сокращаем $\sqrt{x} — 1$ в числителе и знаменателе, и получаем:

$$\frac{x\sqrt{x} + x — \sqrt{x} — 1}{x — 1}.$$

Шаг 5: Упрощение числителя

Теперь у нас числитель:

$$x\sqrt{x} + x — \sqrt{x} — 1.$$

Мы можем сгруппировать подобные слагаемые:

$$x(\sqrt{x} + 1) — (\sqrt{x} + 1) = (x — 1)(\sqrt{x} + 1).$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{(x — 1)(\sqrt{x} + 1)}{x — 1}.$$

Сокращаем $(x — 1)$ в числителе и знаменателе, и получаем:

$$\sqrt{x} + 1.$$

Ответ:

Значение выражения равно $\sqrt{x} + 1$, как и требовалось доказать.

б)

$$\frac{1 + \sqrt{a}}{1 — a} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}} — \sqrt{a} \right) = 1 — \sqrt{a}.$$

Шаг 1: Преобразование выражения

Приведем выражение в нужный вид:

$$\frac{1 + \sqrt{a}}{1 — a} \cdot \left( \frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}} — \sqrt{a} \right).$$

Начнем с того, что преобразуем дробь внутри скобок:

$$\frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}} — \sqrt{a}.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель для $\frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}}$ и $\sqrt{a}$ — это $1 + \sqrt{a}$. Для этого умножим $\sqrt{a}$ на $\frac{1 + \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}}$:

$$\sqrt{a} = \frac{\sqrt{a}(1 + \sqrt{a})}{1 + \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} + a}{1 + \sqrt{a}}.$$

Теперь выражение внутри скобок становится:

$$\frac{1 + \sqrt{a^3}}{1 + \sqrt{a}} — \frac{\sqrt{a} + a}{1 + \sqrt{a}} = \frac{1 + \sqrt{a^3} — (\sqrt{a} + a)}{1 + \sqrt{a}}.$$

Шаг 3: Упрощение числителя

Теперь у нас числитель:

$$1 + \sqrt{a^3} — \sqrt{a} — a.$$

Преобразуем $\sqrt{a^3} = a\sqrt{a}$, и получаем:

$$1 + a\sqrt{a} — \sqrt{a} — a.$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{1 — a + \sqrt{a}(a — 1)}{1 + \sqrt{a}}.$$

Шаг 4: Умножение на $\frac{1 + \sqrt{a}}{1 — a}$

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

$$\frac{1 + \sqrt{a}}{1 — a} \cdot \frac{1 — a + \sqrt{a}(a — 1)}{1 + \sqrt{a}}.$$

Сокращаем $(1 + \sqrt{a})$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1 — a + \sqrt{a}(a — 1)}{1 — a}.$$

Заметим, что $1 — a + \sqrt{a}(a — 1) = (1 — a)(1 — \sqrt{a})$, поэтому выражение принимает вид:

$$\frac{(1 — a)(1 — \sqrt{a})}{1 — a}.$$

Сокращаем $(1 — a)$ в числителе и знаменателе:

$$1 — \sqrt{a}.$$

Ответ:

Значение выражения равно $1 — \sqrt{a}$, как и требовалось доказать.