ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \sin \frac{\pi}{6} x$, $x \in \mathbb{N}$;

б) $y = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2x + 1)$, $x \in \mathbb{N}$;

в) $y = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} x$, $x \in \mathbb{N}$;

г) $y = \cos \pi x$, $x \in \mathbb{N}$

а) $y = \sin \frac{\pi}{6} x$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

$$\begin{aligned} &y_1 = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}; \\ &y_2 = \sin \frac{2\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.86; \\ &y_3 = \sin \frac{3\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{2} = 1; \\ &y_4 = \sin \frac{4\pi}{6} = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.86; \\ &y_5 = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}; \\ &y_6 = \sin \frac{6\pi}{6} = \sin \pi = 0; \end{aligned}$$

График функции:

б) $y = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2x + 1)$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

$$\begin{aligned} &y_1 = \operatorname{ctg} \frac{\pi(2 \cdot 1 + 1)}{4} = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -1; \\ &y_2 = \operatorname{ctg} \frac{\pi(2 \cdot 2 + 1)}{4} = \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4} = 1; \\ &y_3 = \operatorname{ctg} \frac{\pi(2 \cdot 3 + 1)}{4} = \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = -1; \\ &y_4 = \operatorname{ctg} \frac{\pi(2 \cdot 4 + 1)}{4} = \operatorname{ctg} \frac{9\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1; \\ &y_5 = \operatorname{ctg} \frac{\pi(2 \cdot 5 + 1)}{4} = \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -1; \\ &y_6 = \operatorname{ctg} \frac{\pi(2 \cdot 6 + 1)}{4} = \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4} = 1; \end{aligned}$$

График функции:

в) $y = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} x$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

$$\begin{aligned} &y_1 = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.73; \\ &y_2 = \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3} \approx -1.73; \\ &y_3 = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{3} = \operatorname{tg} \pi = 0; \\ &y_4 = \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.73; \\ &y_5 = \operatorname{tg} \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} \approx -1.73; \\ &y_6 = \operatorname{tg} \frac{6\pi}{3} = \operatorname{tg} 2\pi = 0; \end{aligned}$$

График функции:

г) $y = \cos \pi x$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

$$\begin{aligned} &y_1 = \cos \pi = -1; \\ &y_2 = \cos 2\pi = 1; \\ &y_3 = \cos 3\pi = \cos \pi = -1; \\ &y_4 = \cos 4\pi = \cos 0 = 1; \\ &y_5 = \cos 5\pi = \cos \pi = -1; \\ &y_6 = \cos 6\pi = \cos 0 = 1; \end{aligned}$$

График функции:

а) $y = \sin \frac{\pi}{6} x$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

Функция $y = \sin \frac{\pi}{6} x$ представляет собой синусоидальную функцию, где аргумент выражается как $\frac{\pi}{6} x$. Чтобы вычислить значения этой функции для натуральных чисел $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$, подставим данные значения $x$ в формулу:

• Для $x_1 = 1$:

  $$y_1 = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot 1 \right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

  Значение функции при $x = 1$ равно $y_1 = \frac{1}{2}$.

• Для $x_2 = 2$:

  $$y_2 = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot 2 \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$

  Значение функции при $x = 2$ равно $y_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.

• Для $x_3 = 3$:

  $$y_3 = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot 3 \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

  Значение функции при $x = 3$ равно $y_3 = 1$.

• Для $x_4 = 4$:

  $$y_4 = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot 4 \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$

  Значение функции при $x = 4$ равно $y_4 = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.

• Для $x_5 = 5$:

  $$y_5 = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot 5 \right) = \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

  Значение функции при $x = 5$ равно $y_5 = \frac{1}{2}$.

• Для $x_6 = 6$:

  $$y_6 = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot 6 \right) = \sin \pi = 0$$

  Значение функции при $x = 6$ равно $y_6 = 0$.

График функции:

б) $y = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2x + 1)$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

Функция $y = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2x + 1)$ представляет собой котангенс с аргументом $\frac{\pi}{4}(2x + 1)$. Вычислим значения функции для первых шести натуральных чисел $x$:

• Для $x_1 = 1$:

  $$y_1 = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2 \cdot 1 + 1) = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -1$$

  Значение функции при $x = 1$ равно $y_1 = -1$.

• Для $x_2 = 2$:

  $$y_2 = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2 \cdot 2 + 1) = \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4} = 1$$

  Значение функции при $x = 2$ равно $y_2 = 1$.

• Для $x_3 = 3$:

  $$y_3 = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2 \cdot 3 + 1) = \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} = -1$$

  Значение функции при $x = 3$ равно $y_3 = -1$.

• Для $x_4 = 4$:

  $$y_4 = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2 \cdot 4 + 1) = \operatorname{ctg} \frac{9\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 1$$

  Значение функции при $x = 4$ равно $y_4 = 1$.

• Для $x_5 = 5$:

  $$y_5 = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2 \cdot 5 + 1) = \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} = -1$$

  Значение функции при $x = 5$ равно $y_5 = -1$.

• Для $x_6 = 6$:

  $$y_6 = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}(2 \cdot 6 + 1) = \operatorname{ctg} \frac{13\pi}{4} = \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4} = 1$$

  Значение функции при $x = 6$ равно $y_6 = 1$.

График функции:

в) $y = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} x$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

Функция $y = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} x$ представляет собой тангенс с аргументом $\frac{\pi}{3} x$. Для вычисления значений этой функции для первых шести натуральных чисел $x$ подставим значения $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$:

• Для $x_1 = 1$:

  $$y_1 = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$$

  Значение функции при $x = 1$ равно $y_1 = \sqrt{3} \approx 1.732$.

• Для $x_2 = 2$:

  $$y_2 = \operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3} \approx -1.732$$

  Значение функции при $x = 2$ равно $y_2 = -\sqrt{3} \approx -1.732$.

• Для $x_3 = 3$:

  $$y_3 = \operatorname{tg} \pi = 0$$

  Значение функции при $x = 3$ равно $y_3 = 0$.

• Для $x_4 = 4$:

  $$y_4 = \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$$

  Значение функции при $x = 4$ равно $y_4 = \sqrt{3} \approx 1.732$.

• Для $x_5 = 5$:

  $$y_5 = \operatorname{tg} \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} \approx -1.732$$

  Значение функции при $x = 5$ равно $y_5 = -\sqrt{3} \approx -1.732$.

• Для $x_6 = 6$:

  $$y_6 = \operatorname{tg} 2\pi = 0$$

  Значение функции при $x = 6$ равно $y_6 = 0$.

График функции:

г) $y = \cos \pi x$, где $x \in \mathbb{N}$;

Значения функции:

Функция $y = \cos \pi x$ является косинусной функцией с аргументом $\pi x$. Мы подставляем значения $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$:

• Для $x_1 = 1$:

  $$y_1 = \cos \pi = -1$$

  Значение функции при $x = 1$ равно $y_1 = -1$.

• Для $x_2 = 2$:

  $$y_2 = \cos 2\pi = 1$$

  Значение функции при $x = 2$ равно $y_2 = 1$.

• Для $x_3 = 3$:

  $$y_3 = \cos 3\pi = \cos \pi = -1$$

  Значение функции при $x = 3$ равно $y_3 = -1$.

• Для $x_4 = 4$:

  $$y_4 = \cos 4\pi = \cos 0 = 1$$

  Значение функции при $x = 4$ равно $y_4 = 1$.

• Для $x_5 = 5$:

  $$y_5 = \cos 5\pi = \cos \pi = -1$$

  Значение функции при $x = 5$ равно $y_5 = -1$.

• Для $x_6 = 6$:

  $$y_6 = \cos 6\pi = \cos 0 = 1$$

  Значение функции при $x = 6$ равно $y_6 = 1$.

График функции: