ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график последовательности:

а) $y_n = 2 \sin \frac{\pi}{6} n$;

б) $y_n = (-1)^n \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} (2n — 1)$

а) $y_n = 2 \sin \frac{\pi}{6} n$;

Члены последовательности:

$$y_1 = 2 \sin \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1;$$ $$y_2 = 2 \sin \frac{2\pi}{6} = 2 \sin \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1,73;$$ $$y_3 = 2 \sin \frac{3\pi}{6} = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 = 2;$$ $$y_4 = 2 \sin \frac{4\pi}{6} = 2 \sin \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1,73;$$ $$y_5 = 2 \sin \frac{5\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1;$$ $$y_6 = 2 \sin \frac{6\pi}{6} = 2 \sin \pi = 2 \cdot 0 = 0;$$

График последовательности:

б) $y_n = (-1)^n \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} (2n — 1)$;

Члены последовательности:

$$y_1 = (-1)^1 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 1 — 1)}{4} = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1;$$ $$y_2 = (-1)^2 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 2 — 1)}{4} = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1;$$ $$y_3 = (-1)^3 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 3 — 1)}{4} = -\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = -1;$$ $$y_4 = (-1)^4 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 4 — 1)}{4} = \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} = -1;$$ $$y_5 = (-1)^5 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 5 — 1)}{4} = -\operatorname{tg} \frac{9\pi}{4} = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1;$$ $$y_6 = (-1)^6 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 6 — 1)}{4} = \operatorname{tg} \frac{11\pi}{4} = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1;$$

График последовательности:

а) $y_n = 2 \sin \frac{\pi}{6} n$

1) Члены последовательности

У нас дана формула для $y_n$, где $n$ — номер элемента последовательности, а выражение $2 \sin \frac{\pi}{6} n$ задает закон формирования каждого члена последовательности.

Подставим $n = 1$:

$$y_1 = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 1 = 2 \sin \frac{\pi}{6}$$

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, поэтому:

$$y_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

Подставим $n = 2$:

$$y_2 = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 2 = 2 \sin \frac{2\pi}{6} = 2 \sin \frac{\pi}{3}$$

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$y_2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1,73$$

Подставим $n = 3$:

$$y_3 = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 3 = 2 \sin \frac{3\pi}{6} = 2 \sin \frac{\pi}{2}$$

Знаем, что $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, поэтому:

$$y_3 = 2 \cdot 1 = 2$$

Подставим $n = 4$:

$$y_4 = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 4 = 2 \sin \frac{4\pi}{6} = 2 \sin \frac{2\pi}{3}$$

Знаем, что $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$y_4 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1,73$$

Подставим $n = 5$:

$$y_5 = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 5 = 2 \sin \frac{5\pi}{6}$$

Знаем, что $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, поэтому:

$$y_5 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

Подставим $n = 6$:

$$y_6 = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot 6 = 2 \sin \frac{6\pi}{6} = 2 \sin \pi$$

Знаем, что $\sin \pi = 0$, поэтому:

$$y_6 = 2 \cdot 0 = 0$$

2) График последовательности

Теперь, зная значения элементов последовательности для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$, мы можем построить график. График будет показывать точки с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — это номер элемента, а $y_n$ — соответствующее значение. Последовательность выглядит следующим образом:

$$y_1 = 1, \quad y_2 = \sqrt{3} \approx 1,73, \quad y_3 = 2, \quad y_4 = \sqrt{3} \approx 1,73, \quad y_5 = 1, \quad y_6 = 0$$

Их можно соединить точками, чтобы увидеть, как последовательность изменяется от одного члена к другому.

б) $y_n = (-1)^n \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} (2n — 1)$

1) Члены последовательности

У нас дана новая формула для $y_n$, в которой присутствует знак $(-1)^n$ и тангенс. Мы будем вычислять члены последовательности по этой формуле, поочередно подставляя значения $n$.

Подставим $n = 1$:

$$y_1 = (-1)^1 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 1 — 1)}{4} = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$$

Знаем, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$, поэтому:

$$y_1 = -1$$

Подставим $n = 2$:

$$y_2 = (-1)^2 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 2 — 1)}{4} = \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}$$

Знаем, что $\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1$, поэтому:

$$y_2 = -1$$

Подставим $n = 3$:

$$y_3 = (-1)^3 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 3 — 1)}{4} = -\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}$$

Знаем, что $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} = 1$, поэтому:

$$y_3 = -1$$

Подставим $n = 4$:

$$y_4 = (-1)^4 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 4 — 1)}{4} = \operatorname{tg} \frac{7\pi}{4}$$

Знаем, что $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} = -1$, поэтому:

$$y_4 = -1$$

Подставим $n = 5$:

$$y_5 = (-1)^5 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 5 — 1)}{4} = -\operatorname{tg} \frac{9\pi}{4}$$

Знаем, что $\operatorname{tg} \frac{9\pi}{4} = 1$, поэтому:

$$y_5 = -1$$

Подставим $n = 6$:

$$y_6 = (-1)^6 \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi (2 \cdot 6 — 1)}{4} = \operatorname{tg} \frac{11\pi}{4}$$

Знаем, что $\operatorname{tg} \frac{11\pi}{4} = -1$, поэтому:

$$y_6 = -1$$

2) График последовательности

Последовательность для значений $y_n$ при $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ будет:

$$y_1 = -1, \quad y_2 = -1, \quad y_3 = -1, \quad y_4 = -1, \quad y_5 = -1, \quad y_6 = -1$$

Таким образом, все элементы последовательности равны -1, что можно изобразить на графике как горизонтальную прямую на уровне $y = -1$.