ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности (yn):

а) $y_n = 2n^2 — n$;

б) $y_n = \frac{(-1)^n}{n^2 + 1}$;

в) $y_n = \frac{3n — 1}{2^n}$;

г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n — 2}$

а) $y_n = 2n^2 — n$;

$$y_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 2 — 1 = 1;$$ $$y_2 = 2 \cdot 2^2 — 2 = 8 — 2 = 6;$$ $$y_3 = 2 \cdot 3^2 — 3 = 18 — 3 = 15;$$ $$y_4 = 2 \cdot 4^2 — 4 = 32 — 4 = 28;$$ $$y_5 = 2 \cdot 5^2 — 5 = 50 — 5 = 45;$$

б) $y_n = \frac{(-1)^n}{n^2 + 1}$;

$$y_1 = \frac{(-1)^1}{1^2 + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{(-1)^2}{2^2 + 1} = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5};$$ $$y_3 = \frac{(-1)^3}{3^2 + 1} = \frac{-1}{9 + 1} = -\frac{1}{10};$$ $$y_4 = \frac{(-1)^4}{4^2 + 1} = \frac{1}{16 + 1} = \frac{1}{17};$$ $$y_5 = \frac{(-1)^5}{5^2 + 1} = \frac{-1}{25 + 1} = -\frac{1}{26};$$

в) $y_n = \frac{3n — 1}{2^n}$;

$$y_1 = \frac{3 \cdot 1 — 1}{2^1} = \frac{3 — 1}{2} = \frac{2}{2} = 1;$$ $$y_2 = \frac{3 \cdot 2 — 1}{2^2} = \frac{6 — 1}{4} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4};$$ $$y_3 = \frac{3 \cdot 3 — 1}{2^3} = \frac{9 — 1}{8} = \frac{8}{8} = 1;$$ $$y_4 = \frac{3 \cdot 4 — 1}{2^4} = \frac{12 — 1}{16} = \frac{11}{16};$$ $$y_5 = \frac{3 \cdot 5 — 1}{2^5} = \frac{15 — 1}{32} = \frac{14}{32} = \frac{7}{16};$$

г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n — 2}$;

$$y_1 = \frac{(-1)^1 + 2}{3 \cdot 1 — 2} = \frac{-1 + 2}{3 — 2} = \frac{1}{1} = 1;$$ $$y_2 = \frac{(-1)^2 + 2}{3 \cdot 2 — 2} = \frac{1 + 2}{6 — 2} = \frac{3}{4};$$ $$y_3 = \frac{(-1)^3 + 2}{3 \cdot 3 — 2} = \frac{-1 + 2}{9 — 2} = \frac{1}{7};$$ $$y_4 = \frac{(-1)^4 + 2}{3 \cdot 4 — 2} = \frac{1 + 2}{12 — 2} = \frac{3}{10};$$ $$y_5 = \frac{(-1)^5 + 2}{3 \cdot 5 — 2} = \frac{-1 + 2}{15 — 2} = \frac{1}{13};$$

а) $y_n = 2n^2 — n$

Мы рассматриваем квадратичную формулу для вычисления значений $y_n$ для $n = 1, 2, 3, 4, 5$. Подставляем каждый из этих значений в выражение $y_n = 2n^2 — n$.

Для $n = 1$:

$$y_1 = 2 \cdot 1^2 — 1 = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1$$

• Сначала возводим 1 в квадрат, затем умножаем на 2, и отнимаем 1.

Для $n = 2$:

$$y_2 = 2 \cdot 2^2 — 2 = 2 \cdot 4 — 2 = 8 — 2 = 6$$

• Сначала возводим 2 в квадрат, получаем 4, умножаем на 2, затем вычитаем 2.

Для $n = 3$:

$$y_3 = 2 \cdot 3^2 — 3 = 2 \cdot 9 — 3 = 18 — 3 = 15$$

• Сначала возводим 3 в квадрат, получаем 9, умножаем на 2, затем вычитаем 3.

Для $n = 4$:

$$y_4 = 2 \cdot 4^2 — 4 = 2 \cdot 16 — 4 = 32 — 4 = 28$$

• Сначала возводим 4 в квадрат, получаем 16, умножаем на 2, затем вычитаем 4.

Для $n = 5$:

$$y_5 = 2 \cdot 5^2 — 5 = 2 \cdot 25 — 5 = 50 — 5 = 45$$

• Сначала возводим 5 в квадрат, получаем 25, умножаем на 2, затем вычитаем 5.

б) $y_n = \frac{(-1)^n}{n^2 + 1}$

Здесь у нас дробь, в числителе которой стоит $(-1)^n$, и в знаменателе — выражение $n^2 + 1$. Мы будем поочередно вычислять для $n = 1, 2, 3, 4, 5$, следуя по шагам:

Для $n = 1$:

$$y_1 = \frac{(-1)^1}{1^2 + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = \frac{-1}{2}$$

• Возводим $(-1)$ в степень 1 (получаем -1), в знаменателе $1^2 = 1$, прибавляем 1, получаем 2.

Для $n = 2$:

$$y_2 = \frac{(-1)^2}{2^2 + 1} = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5}$$

• Возводим $(-1)$ в степень 2 (получаем 1), в знаменателе $2^2 = 4$, прибавляем 1, получаем 5.

Для $n = 3$:

$$y_3 = \frac{(-1)^3}{3^2 + 1} = \frac{-1}{9 + 1} = \frac{-1}{10}$$

• Возводим $(-1)$ в степень 3 (получаем -1), в знаменателе $3^2 = 9$, прибавляем 1, получаем 10.

Для $n = 4$:

$$y_4 = \frac{(-1)^4}{4^2 + 1} = \frac{1}{16 + 1} = \frac{1}{17}$$

• Возводим $(-1)$ в степень 4 (получаем 1), в знаменателе $4^2 = 16$, прибавляем 1, получаем 17.

Для $n = 5$:

$$y_5 = \frac{(-1)^5}{5^2 + 1} = \frac{-1}{25 + 1} = \frac{-1}{26}$$

• Возводим $(-1)$ в степень 5 (получаем -1), в знаменателе $5^2 = 25$, прибавляем 1, получаем 26.

в) $y_n = \frac{3n — 1}{2^n}$

В этом выражении числитель состоит из линейной функции $3n — 1$, а знаменатель — из степени двойки. Подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$ и шаг за шагом вычислим значения:

Для $n = 1$:

$$y_1 = \frac{3 \cdot 1 — 1}{2^1} = \frac{3 — 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

• В числителе $3 \cdot 1 = 3$, вычитаем 1, получаем 2. В знаменателе $2^1 = 2$, делим 2 на 2, получаем 1.

Для $n = 2$:

$$y_2 = \frac{3 \cdot 2 — 1}{2^2} = \frac{6 — 1}{4} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$$

• В числителе $3 \cdot 2 = 6$, вычитаем 1, получаем 5. В знаменателе $2^2 = 4$, делим 5 на 4, получаем дробь $\frac{5}{4}$, или $1 \frac{1}{4}$.

Для $n = 3$:

$$y_3 = \frac{3 \cdot 3 — 1}{2^3} = \frac{9 — 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

• В числителе $3 \cdot 3 = 9$, вычитаем 1, получаем 8. В знаменателе $2^3 = 8$, делим 8 на 8, получаем 1.

Для $n = 4$:

$$y_4 = \frac{3 \cdot 4 — 1}{2^4} = \frac{12 — 1}{16} = \frac{11}{16}$$

• В числителе $3 \cdot 4 = 12$, вычитаем 1, получаем 11. В знаменателе $2^4 = 16$, делим 11 на 16, получаем дробь $\frac{11}{16}$.

Для $n = 5$:

$$y_5 = \frac{3 \cdot 5 — 1}{2^5} = \frac{15 — 1}{32} = \frac{14}{32} = \frac{7}{16}$$

• В числителе $3 \cdot 5 = 15$, вычитаем 1, получаем 14. В знаменателе $2^5 = 32$, делим 14 на 32, получаем дробь $\frac{14}{32}$, которую можно сократить до $\frac{7}{16}$.

г) $y_n = \frac{(-1)^n + 2}{3n — 2}$

Здесь в числителе $(-1)^n + 2$, а в знаменателе линейная функция $3n — 2$. Подставляем значения для $n = 1, 2, 3, 4, 5$:

Для $n = 1$:

$$y_1 = \frac{(-1)^1 + 2}{3 \cdot 1 — 2} = \frac{-1 + 2}{3 — 2} = \frac{1}{1} = 1$$

• В числителе $(-1)^1 = -1$, прибавляем 2, получаем 1. В знаменателе $3 \cdot 1 — 2 = 1$, делим 1 на 1, получаем 1.

Для $n = 2$:

$$y_2 = \frac{(-1)^2 + 2}{3 \cdot 2 — 2} = \frac{1 + 2}{6 — 2} = \frac{3}{4}$$

• В числителе $(-1)^2 = 1$, прибавляем 2, получаем 3. В знаменателе $3 \cdot 2 — 2 = 4$, делим 3 на 4, получаем $\frac{3}{4}$.

Для $n = 3$:

$$y_3 = \frac{(-1)^3 + 2}{3 \cdot 3 — 2} = \frac{-1 + 2}{9 — 2} = \frac{1}{7}$$

• В числителе $(-1)^3 = -1$, прибавляем 2, получаем 1. В знаменателе $3 \cdot 3 — 2 = 7$, делим 1 на 7, получаем $\frac{1}{7}$.

Для $n = 4$:

$$y_4 = \frac{(-1)^4 + 2}{3 \cdot 4 — 2} = \frac{1 + 2}{12 — 2} = \frac{3}{10}$$

• В числителе $(-1)^4 = 1$, прибавляем 2, получаем 3. В знаменателе $3 \cdot 4 — 2 = 10$, делим 3 на 10, получаем $\frac{3}{10}$.

Для $n = 5$:

$$y_5 = \frac{(-1)^5 + 2}{3 \cdot 5 — 2} = \frac{-1 + 2}{15 — 2} = \frac{1}{13}$$

• В числителе $(-1)^5 = -1$, прибавляем 2, получаем 1. В знаменателе $3 \cdot 5 — 2 = 13$, делим 1 на 13, получаем $\frac{1}{13}$.