ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x/(x-2) — 5/(x+2) = (10-x)/(x^2-4);

б) 3/x — 6/(x^2-3x) = (3x-7)/(3-x);

в) 6/(x^2-4x+3) — (13-7x)/(1-x) = 3/x-3;

г) 8/(x^2-6x+8) + (1-3x)/(2-x) = 4/x-4.

а)

$$\frac{x}{x-2}-\frac{5}{x+2}=\frac{10-x}{x^2-4};$$$$\frac{x(x+2)-5(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{10-x}{x^2-4};$$$$\frac{x^2+2x-5x+10}{x^2-4}=\frac{10-x}{x^2-4};$$$$\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}=\frac{10-x}{x^2-4}\mathrm{\mid }\cdot (x^2-4);$$$$x^2-3x+10=10-x;$$$$x^2-2x=0;$$$$x(x-2)=0;$$$$x_1=0\text{ и }{x}_2=2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-4\mathrm{\ne }0;$$$$x^2\mathrm{\ne }4;$$$$x\mathrm{\ne }\pm \sqrt{4}\mathrm{\ne }\pm 2;$$

Ответ: $x=0$.

б)

$$\frac{3}{x}-\frac{6}{x^2-3x}=\frac{3x-7}{3-x};$$$$\frac{3}{x}-\frac{6}{x(x-3)}=-\frac{3x-7}{x-3};$$$$\frac{3(x-3)-6}{x(x-3)}=\frac{(7-3x)\cdot x}{x(x-3)}\mathrm{\mid }\cdot x(x-3);$$$$3(x-3)-6=x(7-3x);$$$$3x-9-6=7x-3x^2;$$$$3x^2-4x-15=0;$$$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 15=16+180=196,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{4-14}{2\cdot 3}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3};$$$$x_2=\frac{4+14}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x(x-3)\mathrm{\ne }0;$$$$x_1\mathrm{\ne }0\text{ и }{x}_2\mathrm{\ne }3;$$

Ответ: $x=-\frac{5}{3}$.

в)

$$\frac{6}{x^2-4x+3}-\frac{13-7x}{1-x}=\frac{3}{x-3};$$$$\frac{6}{x^2-x-3x+3}+\frac{13-7x}{x-1}=\frac{3}{x-3};$$$$\frac{6}{(x-3)(x-1)}+\frac{13-7x}{x-1}=\frac{3}{x-3}\mathrm{\mid }\cdot (x-3)(x-1);$$$$6+(13-7x)(x-3)=3(x-1);$$$$6+13x-39-7x^2+21x=3x-3;$$$$7x^2-31x+30=0;$$$$D={31}^2-4\cdot 7\cdot 30=961-840=121,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{31-11}{2\cdot 7}=\frac{20}{14}=\frac{10}{7};$$$$x_2=\frac{31+11}{2\cdot 7}=\frac{42}{14}=3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$(x-3)(x-1)\mathrm{\ne }0;$$$$x_1\mathrm{\ne }3\text{ и }{x}_2\mathrm{\ne }1;$$

Ответ: $x=\frac{10}{7}$.

г)

$$\frac{8}{x^2-6x+8}+\frac{1-3x}{2-x}=\frac{4}{x-4};$$$$\frac{8}{x^2-2x-4x+8}-\frac{1-3x}{x-2}=\frac{4}{x-4};$$$$\frac{8}{(x-4)(x-2)}-\frac{1-3x}{x-2}=\frac{4}{x-4}\mathrm{\mid }\cdot (x-4)(x-2);$$$$8-(1-3x)(x-4)=4(x-2);$$$$8-x+4+3x^2-12x=4x-8;$$$$3x^2-17x+20=0;$$$$D={17}^2-4\cdot 3\cdot 20=289-240=49,\text{ тогда:}$$$$x_1=\frac{17-7}{2\cdot 3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3};$$$$x_2=\frac{17+7}{2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$(x-4)(x-2)\mathrm{\ne }0;$$$$x_1\mathrm{\ne }4\text{ и }{x}_2\mathrm{\ne }2;$$

Ответ: $x=\frac{5}{3}$.

а)

Уравнение:

$$\frac{x}{x-2} — \frac{5}{x+2} = \frac{10-x}{x^2-4}$$

Шаг 1. Приводим обе дроби слева к общему знаменателю. Общий знаменатель для выражений $\frac{x}{x-2}$ и $\frac{5}{x+2}$ — это $(x-2)(x+2)$:

$$\frac{x}{x-2} — \frac{5}{x+2} = \frac{x(x+2) — 5(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 + 2x — 5x + 10}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 — 3x + 10}{(x-2)(x+2)}$$

Шаг 2. Используем равенство для числителей. Мы видим, что обе стороны уравнения имеют общий знаменатель $(x^2 — 4)$, так что можем избавиться от знаменателей:

$$x^2 — 3x + 10 = 10 — x$$

Шаг 3. Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^2 — 3x + 10 — 10 + x = 0$$ $$x^2 — 2x = 0$$

Шаг 4. Выносим $x$ за скобки:

$$x(x — 2) = 0$$

Шаг 5. Находим корни уравнения:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 2$$

Шаг 6. Ограничения для $x$. Чтобы выражение имело смысл, знаменатель не должен равняться нулю:

$$x^2 — 4 \neq 0$$ $$x \neq \pm 2$$

Таким образом, значение $x = 2$ не подходит, так как оно делает знаменатель нулевым. Окончательный ответ:

$$x = 0$$

б)

Уравнение:

$$\frac{3}{x} — \frac{6}{x^2 — 3x} = \frac{3x — 7}{3 — x}$$

Шаг 1. Приводим обе дроби слева к общему знаменателю. Для дробей $\frac{3}{x}$ и $\frac{6}{x^2 — 3x}$ общий знаменатель — $x(x-3)$:

$$\frac{3}{x} — \frac{6}{x(x-3)} = \frac{3(x-3) — 6}{x(x-3)} = \frac{3x — 9 — 6}{x(x-3)} = \frac{3x — 15}{x(x-3)}$$

Шаг 2. Изменим знак в правой части уравнения:

$$\frac{3x — 15}{x(x-3)} = \frac{-(3x-7)}{x-3}$$

Шаг 3. Преобразуем правую часть, используя общий знаменатель:

$$\frac{3x — 15}{x(x-3)} = \frac{(7-3x) \cdot x}{x(x-3)}$$

Шаг 4. Приводим к равенству числителей:

$$3x — 15 = 7x — 3x^2$$

Шаг 5. Переносим все элементы в одну сторону:

$$3x^2 — 4x — 15 = 0$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение с использованием дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196$$ $$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 14}{6} = -\frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 14}{6} = 3$$

Шаг 7. Ограничения для $x$:

$$x(x-3) \neq 0$$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Ответ: $x = -\frac{5}{3}$.

в)

Уравнение:

$$\frac{6}{x^2 — 4x + 3} — \frac{13 — 7x}{1 — x} = \frac{3}{x — 3}$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю для первых двух дробей слева. Общий знаменатель для дробей $\frac{6}{x^2 — 4x + 3}$ и $\frac{13 — 7x}{1 — x}$ — это $(x-3)(x-1)$:

$$\frac{6}{(x-3)(x-1)} + \frac{13 — 7x}{x-1} = \frac{3}{x-3}$$

Шаг 2. Приводим к числителю правой части:

$$\frac{6}{(x-3)(x-1)} + \frac{13 — 7x}{x-1} = \frac{3(x-1)}{(x-3)(x-1)}$$

Шаг 3. Умножаем обе части уравнения на $(x-3)(x-1)$ и приводим к числителям:

$$6 + (13 — 7x)(x — 3) = 3(x — 1)$$

Шаг 4. Упрощаем:

$$6 + 13x — 39 — 7x^2 + 21x = 3x — 3$$ $$7x^2 — 31x + 30 = 0$$

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение с использованием дискриминанта:

$$D = (-31)^2 — 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 — 840 = 121$$ $$x_1 = \frac{-(-31) — \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{31 — 11}{14} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$$ $$x_2 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{31 + 11}{14} = \frac{42}{14} = 3$$

Шаг 6. Ограничения для $x$:

$$(x — 3)(x — 1) \neq 0$$

Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq 1$.

Ответ: $x = \frac{10}{7}$.

г)

Уравнение:

$$\frac{8}{x^2 — 6x + 8} + \frac{1 — 3x}{2 — x} = \frac{4}{x — 4}$$

Шаг 1. Приводим обе дроби слева к общему знаменателю. Общий знаменатель для выражений $\frac{8}{x^2 — 6x + 8}$ и $\frac{1 — 3x}{2 — x}$ — это $(x — 4)(x — 2)$:

$$\frac{8}{(x — 4)(x — 2)} — \frac{1 — 3x}{x — 2} = \frac{4}{x — 4}$$

Шаг 2. Умножаем обе стороны на $(x — 4)(x — 2)$:

$$8 — (1 — 3x)(x — 4) = 4(x — 2)$$

Шаг 3. Упрощаем выражения:

$$8 — x + 4 + 3x^2 — 12x = 4x — 8$$ $$3x^2 — 17x + 20 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение с использованием дискриминанта:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 20 = 289 — 240 = 49$$ $$x_1 = \frac{-(-17) — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{17 — 7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4$$

Шаг 5. Ограничения для $x$:

$$(x — 4)(x — 2) \neq 0$$

Это означает, что $x \neq 4$ и $x \neq 2$.

Ответ: $x = \frac{5}{3}$.