ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму геометрической прогрессии:

а) 32; 16; 8; 4; 2; …;

б) 24; $-8$; $-\frac{8}{3}$; $-\frac{8}{9}$; …;

в) 27; 9; 3; 1; $\frac{1}{3}$; …;

г) 18; $-6$; 2; $-\frac{2}{3}$; …

а) 32; 16; 8; 4; 2; …;

$b_1 = 32$ и $b_2 = 16$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0,5$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{32}{1 — 0,5} = \frac{32}{0,5} = 64$;

Ответ: 64.

б) 24; $-8$; $-\frac{8}{3}$; $-\frac{8}{9}$; …;

$b_1 = 24$ и $b_2 = -8$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = 24 : \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 24 : \frac{4}{3} = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18$;

Ответ: 18.

в) 27; 9; 3; 1; $\frac{1}{3}$; …;

$b_1 = 27$ и $b_2 = 9$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = 27 : \left(1 — \frac{1}{3}\right) = 27 : \frac{2}{3} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$;

Ответ: 40,5.

г) 18; $-6$; 2; $-\frac{2}{3}$; …;

$b_1 = 18$ и $b_2 = -6$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = 18 : \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 18 : \frac{4}{3} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13,5$;

Ответ: 13,5.

а) 32; 16; 8; 4; 2; …;

Анализ последовательности:
Это последовательность чисел, которая убывает. Мы видим, что каждое следующее число получается путём умножения предыдущего на постоянный коэффициент $q$, который называется знаменателем прогрессии. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

Определение первого члена и знаменателя прогрессии:

• Первый член $b_1 = 32$.
• Второй член $b_2 = 16$.

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Знаменатель прогрессии $q$ можно вычислить как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0,5.$$

Это означает, что каждый следующий элемент последовательности получается путём умножения предыдущего на $\frac{1}{2}$ (или 0,5).

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

В данном случае, $b_1 = 32$ и $q = 0,5$.

Вычисление суммы:
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$$S = \frac{32}{1 — 0,5} = \frac{32}{0,5} = 64.$$

Ответ:
Ответ для данной геометрической прогрессии:

$$\boxed{64}.$$

б) 24; $-8$; $-\frac{8}{3}$; $-\frac{8}{9}$; …;

Анализ последовательности:
Мы видим, что каждый элемент последовательности получается путём умножения предыдущего на постоянный коэффициент $q$, и последовательность является геометрической прогрессией.

Определение первого члена и знаменателя прогрессии:

• Первый член $b_1 = 24$.
• Второй член $b_2 = -8$.

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Знаменатель прогрессии $q$ можно вычислить как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}.$$

Это означает, что каждый следующий элемент последовательности получается путём умножения предыдущего на $-\frac{1}{3}$.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

В данном случае, $b_1 = 24$ и $q = -\frac{1}{3}$.

Вычисление суммы:
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$$S = \frac{24}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{24}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{24}{\frac{4}{3}} = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18.$$

Ответ:
Ответ для данной геометрической прогрессии:

$$\boxed{18}.$$

в) 27; 9; 3; 1; $\frac{1}{3}$; …;

Анализ последовательности:
Последовательность убывает, каждый следующий элемент получается путём умножения предыдущего на постоянный коэффициент $q$, и последовательность является геометрической прогрессией.

Определение первого члена и знаменателя прогрессии:

• Первый член $b_1 = 27$.
• Второй член $b_2 = 9$.

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Знаменатель прогрессии $q$ можно вычислить как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}.$$

Это означает, что каждый следующий элемент последовательности получается путём умножения предыдущего на $\frac{1}{3}$.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

В данном случае, $b_1 = 27$ и $q = \frac{1}{3}$.

Вычисление суммы:
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$$S = \frac{27}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5.$$

Ответ:
Ответ для данной геометрической прогрессии:

$$\boxed{40,5}.$$

г) 18; $-6$; 2; $-\frac{2}{3}$; …;

Анализ последовательности:
Последовательность убывает, каждый следующий элемент получается путём умножения предыдущего на постоянный коэффициент $q$, и последовательность является геометрической прогрессией.

Определение первого члена и знаменателя прогрессии:

• Первый член $b_1 = 18$.
• Второй член $b_2 = -6$.

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Знаменатель прогрессии $q$ можно вычислить как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}.$$

Это означает, что каждый следующий элемент последовательности получается путём умножения предыдущего на $-\frac{1}{3}$.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

В данном случае, $b_1 = 18$ и $q = -\frac{1}{3}$.

Вычисление суммы:
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$$S = \frac{18}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13,5.$$

Ответ:
Ответ для данной геометрической прогрессии:

$$\boxed{13,5}.$$

Итоговые ответы:

а) $64$

б) $18$

в) $40,5$

г) $13,5$