ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и четвертого 11,6.

б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5?

а) Найти сумму геометрической прогрессии, если:

$b_1 + b_3 = 29$

$b_2 + b_4 = 11,6$

Выразим каждый член прогрессии через $b_1$ и $q$:

$$b_2 = b_1 \cdot q;$$ $$b_3 = b_1 \cdot q^2;$$ $$b_4 = b_1 \cdot q^3;$$

Для первого равенства:

$$b_1 + b_1 \cdot q^2 = 29;$$ $$b_1(1 + q^2) = 29;$$ $$b_1 = \frac{29}{1 + q^2};$$

Для второго равенства:

$$b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = 11,6;$$ $$q \cdot (b_1 + b_1 \cdot q^2) = 11,6;$$ $$q \cdot 29 = 11,6;$$ $$q = \frac{11,6}{29} = \frac{116}{290} = 0,4;$$

Первый член прогрессии:

$$b_1 = \frac{29}{1 + (0,4)^2} = \frac{29}{1 + 0,16} = \frac{29}{1,16} = \frac{2900}{116} = 25;$$

Сумма прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{25}{1 — 0,4} = \frac{25}{0,6} = \frac{250}{6} = 41\frac{4}{6} = 41\frac{2}{3};$$

Ответ: $41\frac{2}{3}$.

б) Найти пятый член геометрической прогрессии, если:

$b_5 = \frac{(b_3)^3}{4}$

$S = 4,5$

Выразим каждый член прогрессии через $b_1$ и $q$:

$$b_3 = b_1 \cdot q^2;$$ $$b_5 = b_1 \cdot q^4;$$

Для первого равенства:

$$b_1 \cdot q^4 = \frac{(b_1 \cdot q^2)^3}{4};$$ $$b_1 \cdot q^4 = \frac{b_1^3 \cdot q^6}{4};$$ $$\frac{b_1^3}{b_1} = q^4 \cdot \frac{4}{q^6};$$ $$b_1^2 = \frac{4}{q^2};$$ $$b_1 = \pm \frac{2}{q};$$

Для второго равенства:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 4,5;$$ $$b_1 = 4,5(1 — q);$$ $$b_1 = 4,5 — 4,5q;$$

Уравнение, в котором $b_1 = \frac{2}{q}$:

$$\frac{2}{q} = 4,5 — 4,5q;$$ $$2 = 4,5q — 4,5q^2;$$ $$9q^2 — 9q + 4 = 0;$$ $$D = 9^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 — 144 = -63;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет};$$

Уравнение, в котором $b_1 = -\frac{2}{q}$:

$$-\frac{2}{q} = 4,5 — 4,5q;$$ $$-2 = 4,5q — 4,5q^2;$$ $$9q^2 — 9q — 4 = 0;$$ $$D = 9^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 + 144 = 225 = 15^2;$$ $$q_1 = \frac{9 — 15}{2 \cdot 9} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3};$$ $$q_2 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3};$$

Первый член прогрессии:

$$b_1 = 4,5(1 — q) = 4,5 \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 4,5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{18}{3} = 6;$$

Пятый член прогрессии:

$$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{2}{27};$$

Ответ: $\frac{2}{27}$.

а) Найти сумму геометрической прогрессии, если:

$b_1 + b_3 = 29$

$b_2 + b_4 = 11,6$

Обозначим каждый член прогрессии через первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$:

В геометрической прогрессии каждый следующий член выражается через предыдущий, умноженный на знаменатель прогрессии $q$. Таким образом:

$$b_2 = b_1 \cdot q;$$ $$b_3 = b_1 \cdot q^2;$$ $$b_4 = b_1 \cdot q^3.$$

Используем первое условие $b_1 + b_3 = 29$:

Подставим выражение для $b_3$ из первого шага:

$$b_1 + b_1 \cdot q^2 = 29.$$

Выносим $b_1$ за скобки:

$$b_1(1 + q^2) = 29.$$

Таким образом, выражаем $b_1$:

$$b_1 = \frac{29}{1 + q^2}.$$

Используем второе условие $b_2 + b_4 = 11,6$:

Подставим выражения для $b_2$ и $b_4$:

$$b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = 11,6.$$

Выносим $b_1$ за скобки:

$$b_1 \cdot q (1 + q^2) = 11,6.$$

Подставим выражение для $b_1$, найденное на шаге 2:

$$\frac{29}{1 + q^2} \cdot q (1 + q^2) = 11,6.$$

Упростим:

$$29 \cdot q = 11,6.$$

Решим относительно $q$:

$$q = \frac{11,6}{29} = \frac{116}{290} = 0,4.$$

Теперь находим первый член прогрессии $b_1$:

Подставим найденное значение $q = 0,4$ в выражение для $b_1$:

$$b_1 = \frac{29}{1 + (0,4)^2} = \frac{29}{1 + 0,16} = \frac{29}{1,16} = \frac{2900}{116} = 25.$$

Сумма прогрессии $S$:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим значения $b_1 = 25$ и $q = 0,4$:

$$S = \frac{25}{1 — 0,4} = \frac{25}{0,6} = \frac{250}{6} = 41 \frac{4}{6} = 41 \frac{2}{3}.$$

Ответ: $41 \frac{2}{3}$.

б) Найти пятый член геометрической прогрессии, если:

$b_5 = \frac{(b_3)^3}{4}$

$S = 4,5$

Обозначим каждый член прогрессии через $b_1$ и $q$:

$$b_3 = b_1 \cdot q^2;$$ $$b_5 = b_1 \cdot q^4.$$

Используем условие $b_5 = \frac{(b_3)^3}{4}$:

Подставим выражение для $b_5$ и $b_3$:

$$b_1 \cdot q^4 = \frac{(b_1 \cdot q^2)^3}{4}.$$

Раскроем куб в правой части:

$$b_1 \cdot q^4 = \frac{b_1^3 \cdot q^6}{4}.$$

Умножим обе части на 4:

$$4 \cdot b_1 \cdot q^4 = b_1^3 \cdot q^6.$$

Разделим обе части на $b_1$:

$$4 \cdot q^4 = b_1^2 \cdot q^6.$$

Упростим:

$$b_1^2 = \frac{4}{q^2}.$$

Таким образом, выражаем $b_1$:

$$b_1 = \pm \frac{2}{q}.$$

Используем условие $S = 4,5$:

Сумма прогрессии выражается по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 4,5.$$

Подставим $b_1 = 4,5(1 — q)$:

$$b_1 = 4,5 — 4,5q.$$

Решим систему уравнений для двух выражений $b_1$:

Первое уравнение: $b_1 = \frac{2}{q}$.

Подставим это выражение во второе:

$$\frac{2}{q} = 4,5 — 4,5q.$$

Умножим обе части на $q$:

$$2 = 4,5q — 4,5q^2.$$

Перепишем уравнение:

$$9q^2 — 9q + 4 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 — 144 = -63.$$

Дискриминант отрицателен, значит корней нет.

Второе уравнение: $b_1 = -\frac{2}{q}$.

Подставим это выражение во второе:

$$-\frac{2}{q} = 4,5 — 4,5q.$$

Умножим обе части на $q$:

$$-2 = 4,5q — 4,5q^2.$$

Перепишем уравнение:

$$9q^2 — 9q — 4 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2.$$

Таким образом, корни уравнения:

$$q_1 = \frac{9 — 15}{2 \cdot 9} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3},$$ $$q_2 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}.$$

Найдем первый член прогрессии:

Подставим $q_1 = -\frac{1}{3}$ в выражение для $b_1$:

$$b_1 = 4,5 \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = 4,5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{18}{3} = 6.$$

Найдем пятый член прогрессии $b_5$:

$$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 6 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}.$$

Ответ: $\frac{2}{27}$.