ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162.

б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 2, а сумма кубов ее членов равна $1\frac{1}{7}$.

а) Составить геометрическую прогрессию, если:

$S = 18$

$S(n^2) = 162$

Для первого равенства:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 18$$ $$b_1 = 18(1 — q)$$ $$b_1 = 18 — 18q$$

Для второго равенства:

$$S(n^2) = \frac{b_1^2}{1 — q^2} = 162$$ $$b_1^2 = 162(1 — q^2)$$

Имеем уравнение:

$$(18 — 18q)^2 = 162(1 — q^2)$$ $$324 — 648q + 324q^2 = 162 — 162q^2$$ $$486q^2 — 648q + 162 = 0$$ $$3q^2 — 4q + 1 = 0$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Тогда:

$$q_1 = \frac{4 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$q_2 = \frac{4 + 2}{2 \cdot 3} = 1$$

Первый член прогрессии:

$$b_1 = 18(1 — q) = 18\left(1 — \frac{1}{3}\right) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$$

Ответ: $b_1 = 12$; $q = \frac{1}{3}$.

б) Найти $S(n^2)$ геометрической прогрессии, если:

$S = 2$

$S(n^3) = 1 \frac{1}{7}$

Для первого равенства:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 2$$ $$b_1 = 2(1 — q)$$ $$b_1 = 2 — 2q$$

Для второго равенства:

$$S(n^3) = \frac{b_1^3}{1 — q^3} = 1 \frac{1}{7}$$ $$b_1^3 = \frac{8}{7}(1 — q^3)$$

Имеем уравнение:

$$(2 — 2q)^3 = \frac{8}{7}(1 — q^3)$$ $$7(8 — 24q + 24q^2 — 8q^3) = 8 — 8q^3$$ $$56 — 168q + 168q^2 — 56q^3 = 8 — 8q^3$$ $$48 — 48q^3 + 168q^2 — 168q = 0 \quad | : (-24)$$ $$2q^3 — 2 — 7q^2 + 7q = 0$$ $$2q^3 — 6q^2 + 4q — q^2 + 3q — 2 = 0$$ $$2q(q^2 — 3q + 2) — (q^2 — 3q + 2) = 0$$ $$(q^2 — 3q + 2)(2q — 1) = 0$$ $$(q(q — 1) — 2(q — 1))(2q — 1) = 0$$ $$(q — 1)(q — 2)(2q — 1) = 0$$ $$q_1 = 1, \quad q_2 = 2, \quad q_3 = 0.5$$

Первый член прогрессии:

$$b_1 = 2(1 — q) = 2(1 — 0.5) = 2 \cdot 0.5 = 1$$

Сумма квадратов членов прогрессии:

$$S(n^2) = \frac{b_1^2}{1 — q^2}$$ $$S(n^2) = \frac{1^2}{1 — 0.5^2} = \frac{1}{1 — 0.25} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$$

Ответ: $1 \frac{1}{3}$.

а) Составить геометрическую прогрессию, если:

$S = 18$

$S(n^2) = 162$

Определяем, что означают данные в задаче:

• $S$ — это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии. Сумма первых $n$-ти членов геометрической прогрессии выражается формулой:

  $$S_n = \frac{b_1 (1 — q^n)}{1 — q}, \quad \text{если} \, q \neq 1$$

  где:

  • $b_1$ — первый член прогрессии,
  • $q$ — знаменатель прогрессии,
  • $n$ — количество членов, для которых считается сумма.

Однако, в задаче не указано значение $n$ для первого выражения суммы $S$, поэтому предполагаем, что речь идет о сумме всех членов прогрессии, что соответствует бесконечному числу членов прогрессии. Для бесконечной прогрессии сумма выражается через:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{если} \, |q| < 1$$

Мы можем использовать эту формулу, так как $S = 18$ — сумма всех членов прогрессии.

• $S(n^2)$ — это сумма квадратов первых $n$ членов геометрической прогрессии. Сумма квадратов первых $n$-ти членов геометрической прогрессии выражается формулой:

  $$S(n^2) = \frac{b_1^2}{1 — q^2}$$

  где:

  • $b_1^2$ — квадрат первого члена прогрессии,
  • $q^2$ — квадрат знаменателя прогрессии.

Используем информацию из условия задачи:

• $S = 18$, что по формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии дает:

  $$\frac{b_1}{1 — q} = 18$$

  Из этого уравнения можем выразить $b_1$:

  $$b_1 = 18(1 — q)$$

• $S(n^2) = 162$, что по формуле для суммы квадратов первых $n$-ти членов геометрической прогрессии дает:

  $$\frac{b_1^2}{1 — q^2} = 162$$

  Подставляем выражение для $b_1$:

  $$\frac{(18 — 18q)^2}{1 — q^2} = 162$$

  Раскроем квадрат в числителе:

  $$\frac{(18 — 18q)^2}{1 — q^2} = \frac{324 — 648q + 324q^2}{1 — q^2} = 162$$

  Умножаем обе стороны уравнения на $1 — q^2$:

  $$324 — 648q + 324q^2 = 162(1 — q^2)$$

  Раскрываем правую часть:

  $$324 — 648q + 324q^2 = 162 — 162q^2$$

  Переносим все элементы в одну сторону:

  $$324 — 648q + 324q^2 — 162 + 162q^2 = 0$$

  Приводим подобные члены:

  $$486q^2 — 648q + 162 = 0$$

  Упростим уравнение, разделив его на 3:

  $$3q^2 — 4q + 1 = 0$$

Решаем полученное квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения $3q^2 — 4q + 1 = 0$ используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

где $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$.

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4$$

Находим корни:

$$q_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$q_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Находим первый член прогрессии $b_1$:

Подставляем найденное значение $q = \frac{1}{3}$ в формулу для $b_1$:

$$b_1 = 18(1 — q) = 18\left(1 — \frac{1}{3}\right) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$$

Ответ для пункта а):

• Первый член прогрессии $b_1 = 12$,
• Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

б) Найти $S(n^2)$ геометрической прогрессии, если:

$S = 2$

$S(n^3) = 1 \frac{1}{7}$

Определяем, что означают данные в задаче:

• $S = 2$ — это сумма всех членов геометрической прогрессии, то есть:

  $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 2$$

  Отсюда получаем выражение для $b_1$:

  $$b_1 = 2(1 — q)$$

• $S(n^3) = 1 \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$ — это сумма кубов первых $n$ членов прогрессии, которая выражается через формулу:

  $$S(n^3) = \frac{b_1^3}{1 — q^3} = \frac{8}{7}$$

  Подставляем выражение для $b_1$:

  $$\frac{(2 — 2q)^3}{1 — q^3} = \frac{8}{7}$$

  Раскроем куб в числителе:

  $$\frac{(2 — 2q)^3}{1 — q^3} = \frac{8 — 24q + 24q^2 — 8q^3}{1 — q^3} = \frac{8}{7}$$

  Умножаем обе стороны на $1 — q^3$:

  $$7(8 — 24q + 24q^2 — 8q^3) = 8 — 8q^3$$

  Раскрываем обе части:

  $$56 — 168q + 168q^2 — 56q^3 = 8 — 8q^3$$

  Переносим все элементы в одну сторону:

  $$56 — 168q + 168q^2 — 56q^3 — 8 + 8q^3 = 0$$

  Приводим подобные члены:

  $$48 — 168q + 168q^2 — 48q^3 = 0$$

  Разделим на $-24$:

  $$2q^3 — 2 — 7q^2 + 7q = 0$$

  Перепишем уравнение:

  $$2q^3 — 6q^2 + 4q — q^2 + 3q — 2 = 0$$

  Группируем члены:

  $$2q(q^2 — 3q + 2) — (q^2 — 3q + 2) = 0$$

  Извлекаем общий множитель:

  $$(q^2 — 3q + 2)(2q — 1) = 0$$

  Раскладываем:

  $$(q — 1)(q — 2)(2q — 1) = 0$$

  Следовательно, $q_1 = 1$, $q_2 = 2$, $q_3 = 0.5$.

Находим первый член прогрессии $b_1$:

Подставляем $q = 0.5$ в формулу для $b_1$:

$$b_1 = 2(1 — q) = 2(1 — 0.5) = 2 \cdot 0.5 = 1$$

Нахождение суммы квадратов членов прогрессии $S(n^2)$:

Используем формулу для суммы квадратов членов:

$$S(n^2) = \frac{b_1^2}{1 — q^2}$$

Подставляем $b_1 = 1$ и $q = 0.5$:

$$S(n^2) = \frac{1^2}{1 — 0.5^2} = \frac{1}{1 — 0.25} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$$

Ответ для пункта б):
Ответ: $1 \frac{1}{3}$.