ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите номер $n_0$ того члена последовательности ($x_n$), начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки а радиуса r:

а) $x_n = \frac{1}{2n}$, $a = 0$, $r = 0,1$;

б) $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}$, $a = 3$, $r = 0,2$;

в) $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}$, $a = 1$, $r = 0,01$;

г) $x_n = -\frac{3}{n}$, $a = 0$, $r = 0,1$

а) $x_n = \frac{1}{2n}$, $a = 0$, $r = 0,1$;

$0 — 0,1 < \frac{1}{2n} < 0 + 0,1;$

$-\frac{1}{10} < \frac{1}{2n} < \frac{1}{10};$

$\frac{1}{2n} < \frac{1}{10};$

$2n > 10;$

$n > 5;$

Ответ: $n = 6$.

б) $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}$, $a = 3$, $r = 0,2$;

$3 — 0,2 < 3 + \frac{1}{n^2} < 3 + 0,2;$

$-\frac{2}{10} < \frac{1}{n^2} < \frac{2}{10};$

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{5};$

$n^2 > 5;$

$n > \sqrt{5};$

$n > 2,23;$

Ответ: $n = 3$.

в) $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}$, $a = 1$, $r = 0,01$;

$1 — 0,01 < 1 + \frac{2}{n^2} < 1 + 0,01;$

$-\frac{1}{100} < \frac{2}{n^2} < \frac{1}{100};$

$\frac{2}{n^2} < \frac{1}{100};$

$\frac{2}{n^2} < \frac{2}{200};$

$n^2 > 200;$

$n > \sqrt{200};$

$n > 14,14;$

Ответ: $n = 15$.

г) $x_n = -\frac{3}{n}$, $a = 0$, $r = 0,1$;

$0 — 0,1 < -\frac{3}{n} < 0 + 0,1;$

$-\frac{1}{10} < \frac{3}{n} < \frac{1}{10};$

$\frac{3}{n} < \frac{1}{10};$

$\frac{3}{n} < \frac{3}{30};$

$n > 30;$

Ответ: $n = 31$.

Чтобы найти номер $n_0$ такого члена последовательности $x_n$, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки $a$ радиуса $r$, необходимо решить неравенство вида:

$$|x_n — a| < r$$

где:

$x_n$ — это $n$-й элемент последовательности,

$a$ — это точка, к которой стремится последовательность,

$r$ — это радиус окрестности, в котором должны находиться все элементы последовательности после некоторого номера $n_0$.

а) $x_n = \frac{1}{2n}$, $a = 0$, $r = 0,1$

Запишем неравенство для окрестности:

$$|x_n — a| = \left|\frac{1}{2n} — 0\right| = \frac{1}{2n}$$

Нам нужно, чтобы:

$$\frac{1}{2n} < 0,1$$

Решим неравенство для $n$:

$$\frac{1}{2n} < 0,1$$

Умножим обе части неравенства на $2n$ (так как $n > 0$, знак не меняется):

$$1 < 0,2n$$

Разделим обе части неравенства на $0,2$:

$$n > 5$$

Ответ:

Значит, $n_0 = 6$, начиная с этого номера все члены последовательности попадут в окрестность радиуса $r = 0,1$.

б) $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}$, $a = 3$, $r = 0,2$

Запишем неравенство для окрестности:

$$|x_n — a| = \left|3 + \frac{1}{n^2} — 3\right| = \frac{1}{n^2}$$

Нам нужно, чтобы:

$$\frac{1}{n^2} < 0,2$$

Решим неравенство для $n$:

$$\frac{1}{n^2} < 0,2$$

Умножим обе части на $n^2$ (так как $n > 0$, знак не меняется):

$$1 < 0,2n^2$$

Разделим обе части на $0,2$:

$$n^2 > 5$$

Теперь извлечем квадратный корень:

$$n > \sqrt{5} \approx 2,23$$

Ответ:

Значит, $n_0 = 3$, начиная с этого номера все члены последовательности попадут в окрестность радиуса $r = 0,2$.

в) $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}$, $a = 1$, $r = 0,01$

Запишем неравенство для окрестности:

$$|x_n — a| = \left|1 + \frac{2}{n^2} — 1\right| = \frac{2}{n^2}$$

Нам нужно, чтобы:

$$\frac{2}{n^2} < 0,01$$

Решим неравенство для $n$:

$$\frac{2}{n^2} < 0,01$$

Умножим обе части на $n^2$ (так как $n > 0$, знак не меняется):

$$2 < 0,01n^2$$

Разделим обе части на $0,01$:

$$n^2 > 200$$

Теперь извлечем квадратный корень:

$$n > \sqrt{200} \approx 14,14$$

Ответ:

Значит, $n_0 = 15$, начиная с этого номера все члены последовательности попадут в окрестность радиуса $r = 0,01$.

г) $x_n = -\frac{3}{n}$, $a = 0$, $r = 0,1$

Запишем неравенство для окрестности:

$$|x_n — a| = \left|-\frac{3}{n} — 0\right| = \frac{3}{n}$$

Нам нужно, чтобы:

$$\frac{3}{n} < 0,1$$

Решим неравенство для $n$:

$$\frac{3}{n} < 0,1$$

Умножим обе части на $n$ (так как $n > 0$, знак не меняется):

$$3 < 0,1n$$

Разделим обе части на $0,1$:

$$n > 30$$

Ответ:

Значит, $n_0 = 31$, начиная с этого номера все члены последовательности попадут в окрестность радиуса $r = 0,1$.

Итоги:

Для $x_n = \frac{1}{2n}$ $n_0 = 6$,

Для $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}$ $n_0 = 3$,

Для $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}$ $n_0 = 15$,

Для $x_n = -\frac{3}{n}$ $n_0 = 31$.