ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график последовательности ($y_n$) и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

а) $y_n = \frac{2}{n}$;

б) $y_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$;

в) $y_n = \frac{4}{n}$;

г) $y_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

а) $y_n = \frac{2}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 2 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2}{5} & \frac{1}{3} & \frac{2}{7} & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0;$$

График функции:

б) $y_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{1}{27} & \frac{1}{81} & \frac{1}{243} & \frac{1}{729} & \frac{1}{2187} & \frac{1}{6561} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0;$$

График функции:

в) $y_n = \frac{4}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 4 & 2 & 1 \frac{1}{3} & 1 & \frac{4}{5} & \frac{2}{3} & \frac{4}{7} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0;$$

График функции:

г) $y_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} & \frac{1}{64} & \frac{1}{128} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = \lim_{n \to \infty} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^n : \frac{1}{2} \right) = 0 : \frac{1}{2} = 0;$$

График функции:

$$\boxed{ \text{Текст изображен в формате выше.} }$$

а) $y_n = \frac{2}{n}$

1) Значения последовательности:

Давайте вычислим значения последовательности для $x = 1, 2, 3, \dots, 8$:

$$y_1=\frac{2}{1}=2,y_2=\frac{2}{2}=1,y_3=\frac{2}{3},y_4=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},$$

$$y_1 = \frac{2}{1} = 2, \quad y_2 = \frac{2}{2} = 1, \quad y_3 = \frac{2}{3}, \quad y_4 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_5 = \frac{2}{5}, \quad y_6 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad y_7 = \frac{2}{7}, \quad y_8 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Запишем их в виде таблицы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 2 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{2} & \frac{2}{5} & \frac{1}{3} & \frac{2}{7} & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение последовательности при $n \to \infty$. Мы видим, что с увеличением $n$, значение $y_n$ стремится к нулю.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$$

Следовательно, горизонтальная асимптота для этой функции: $y = 0$.

3) График функции:

График последовательности представляет собой точечный график, где с увеличением $n$ значения $y_n$ убывают и приближаются к нулю. Можно ожидать, что график будет выглядеть как линия, стремящаяся к оси абсцисс (оси $y = 0$).

б) $y_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$

1) Значения последовательности:

Для $x = 1, 2, 3, \dots, 8$ находим значения $y_n$:

$$y_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}, \quad y_3 = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}, \quad y_4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$$ $$y_5 = \left( \frac{1}{3} \right)^5 = \frac{1}{243}, \quad y_6 = \left( \frac{1}{3} \right)^6 = \frac{1}{729}, \quad y_7 = \left( \frac{1}{3} \right)^7 = \frac{1}{2187}, \quad y_8 = \left( \frac{1}{3} \right)^8 = \frac{1}{6561}$$

Запишем их в виде таблицы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{1}{27} & \frac{1}{81} & \frac{1}{243} & \frac{1}{729} & \frac{1}{2187} & \frac{1}{6561} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Как и в предыдущем случае, рассмотрим поведение последовательности при $n \to \infty$. Мы видим, что значения стремятся к нулю.

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$$

Следовательно, горизонтальная асимптота для этой функции: $y = 0$.

3) График функции:

График функции будет экспоненциальным спадом. С увеличением $n$ значения $y_n$ быстро уменьшаются и стремятся к нулю. График будет приближаться к оси абсцисс, но никогда её не пересечет.

в) $y_n = \frac{4}{n}$

1) Значения последовательности:

Для $x = 1, 2, 3, \dots, 8$ находим значения $y_n$:

$$y_1 = \frac{4}{1} = 4, \quad y_2 = \frac{4}{2} = 2, \quad y_3 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}, \quad y_4 = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_5 = \frac{4}{5} = 0\frac{4}{5}, \quad y_6 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad y_7 = \frac{4}{7}, \quad y_8 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Запишем их в виде таблицы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 4 & 2 & 1 \frac{1}{3} & 1 & \frac{4}{5} & \frac{2}{3} & \frac{4}{7} & \frac{1}{2} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Аналогично предыдущим примерам, исследуем поведение при $n \to \infty$. Значения стремятся к нулю.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$$

Следовательно, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

3) График функции:

График будет точечным, и с увеличением $n$ значения $y_n$ будут убывать, приближаясь к нулю. Это также точечный график, который будет стремиться к оси абсцисс.

г) $y_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

1) Значения последовательности:

Для $x = 1, 2, 3, \dots, 8$ вычислим значения $y_n$:

$$y_1 = \left( \frac{1}{2} \right)^{1-1} = 1, \quad y_2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{2-1} = \frac{1}{2}, \quad y_3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{3-1} = \frac{1}{4}$$ $$y_4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{4-1} = \frac{1}{8}, \quad y_5 = \left( \frac{1}{2} \right)^{5-1} = \frac{1}{16}, \quad y_6 = \left( \frac{1}{2} \right)^{6-1} = \frac{1}{32}$$ $$y_7 = \left( \frac{1}{2} \right)^{7-1} = \frac{1}{64}, \quad y_8 = \left( \frac{1}{2} \right)^{8-1} = \frac{1}{128}$$

Запишем их в виде таблицы:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{32} & \frac{1}{64} & \frac{1}{128} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты:

Рассмотрим предел при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}} = 0$$

Таким образом, горизонтальная асимптота: $y = 0$.

3) График функции:

График будет представлять собой экспоненциальный спад, где с увеличением $n$ значения $y_n$ быстро стремятся к нулю. График будет приближаться к оси $y = 0$.