ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график последовательности ($y_n$) и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

а) $y_n = -1 + \frac{1}{n}$;

б) $y_n = 2 — \frac{1}{n^2}$;

в) $y_n = 2 — \frac{2}{n}$;

г) $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}$

а) $y_n = -1 + \frac{1}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{2}{3} & -\frac{3}{4} & -\frac{4}{5} & -\frac{5}{6} & -\frac{6}{7} & -\frac{7}{8} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( -1 + \frac{1}{n} \right) = -1 + 0 = -1;$$

График функции:

б) $y_n = 2 — \frac{1}{n^2}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 1 & 1 \frac{3}{4} & 1 \frac{8}{9} & 1 \frac{15}{16} & 1 \frac{24}{25} & 1 \frac{35}{36} & 1 \frac{48}{49} & 1 \frac{63}{64} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( 2 — \frac{1}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 2 — \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = 2 — 0 \cdot 0 = 2;$$

График функции:

в) $y_n = 2 — \frac{2}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 1 \frac{1}{3} & 1 \frac{2}{4} & 1 \frac{3}{5} & 1 \frac{4}{6} & 1 \frac{5}{7} & 1 \frac{6}{8} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( 2 — \frac{2}{n} \right) = 2 — 0 = 2;$$

График функции:

г) $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -2 & -2 \frac{3}{4} & -2 \frac{8}{9} & -2 \frac{15}{16} & -2 \frac{24}{25} & -2 \frac{35}{36} & -2 \frac{48}{49} & -2 \frac{63}{64} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( -3 + \frac{1}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( -3 + \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = -3 + 0 \cdot 0 = -3;$$

График функции:

а) $y_n = -1 + \frac{1}{n}$

1) Значения последовательности

Для каждого $n$ из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ подставим соответствующие значения $n$ в формулу для последовательности:

$$y_n = -1 + \frac{1}{n}$$

• Для $n = 1$:

  $$y_1 = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0$$

• Для $n = 2$:

  $$y_2 = -1 + \frac{1}{2} = -1 + 0.5 = -0.5$$

• Для $n = 3$:

  $$y_3 = -1 + \frac{1}{3} = -1 + 0.3333 = -0.6667$$

• Для $n = 4$:

  $$y_4 = -1 + \frac{1}{4} = -1 + 0.25 = -0.75$$

• Для $n = 5$:

  $$y_5 = -1 + \frac{1}{5} = -1 + 0.2 = -0.8$$

• Для $n = 6$:

  $$y_6 = -1 + \frac{1}{6} = -1 + 0.1667 = -0.8333$$

• Для $n = 7$:

  $$y_7 = -1 + \frac{1}{7} = -1 + 0.1429 = -0.8571$$

• Для $n = 8$:

  $$y_8 = -1 + \frac{1}{8} = -1 + 0.125 = -0.875$$

Таблица значений последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{2}{3} & -\frac{3}{4} & -\frac{4}{5} & -\frac{5}{6} & -\frac{6}{7} & -\frac{7}{8} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты

Чтобы найти уравнение горизонтальной асимптоты для данной последовательности, необходимо вычислить предел:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( -1 + \frac{1}{n} \right)$$

Когда $n \to \infty$, $\frac{1}{n} \to 0$, следовательно:

$$y = -1 + 0 = -1$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = -1$$

3) График функции

График функции будет показывать, как значения последовательности стремятся к горизонтальной асимптоте $y = -1$ по мере увеличения $n$. Точки на графике будут располагаться выше этой асимптоты, но с каждым шагом приближаться к ней.

б) $y_n = 2 — \frac{1}{n^2}$

1) Значения последовательности

Подставим значения $n$ от 1 до 8 в формулу $y_n = 2 — \frac{1}{n^2}$:

• Для $n = 1$:

  $$y_1 = 2 — \frac{1}{1^2} = 2 — 1 = 1$$

• Для $n = 2$:

  $$y_2 = 2 — \frac{1}{2^2} = 2 — 0.25 = 1.75$$

• Для $n = 3$:

  $$y_3 = 2 — \frac{1}{3^2} = 2 — 0.1111 = 1.8889$$

• Для $n = 4$:

  $$y_4 = 2 — \frac{1}{4^2} = 2 — 0.0625 = 1.9375$$

• Для $n = 5$:

  $$y_5 = 2 — \frac{1}{5^2} = 2 — 0.04 = 1.96$$

• Для $n = 6$:

  $$y_6 = 2 — \frac{1}{6^2} = 2 — 0.0278 = 1.9722$$

• Для $n = 7$:

  $$y_7 = 2 — \frac{1}{7^2} = 2 — 0.0204 = 1.9796$$

• Для $n = 8$:

  $$y_8 = 2 — \frac{1}{8^2} = 2 — 0.0156 = 1.9844$$

Таблица значений последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 1 & 1 \frac{3}{4} & 1 \frac{8}{9} & 1 \frac{15}{16} & 1 \frac{24}{25} & 1 \frac{35}{36} & 1 \frac{48}{49} & 1 \frac{63}{64} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты

Находим предел функции при $n \to \infty$:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( 2 — \frac{1}{n^2} \right)$$

Когда $n \to \infty$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, следовательно:

$$y = 2 — 0 = 2$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = 2$$

3) График функции

График функции будет показывать, как значения последовательности приближаются к горизонтальной асимптоте $y = 2$, причем с увеличением $n$ значения функции становятся все ближе к $2$.

в) $y_n = 2 — \frac{2}{n}$

1) Значения последовательности

Подставим значения $n$ от 1 до 8 в формулу $y_n = 2 — \frac{2}{n}$:

• Для $n = 1$:

  $$y_1 = 2 — \frac{2}{1} = 2 — 2 = 0$$

• Для $n = 2$:

  $$y_2 = 2 — \frac{2}{2} = 2 — 1 = 1$$

• Для $n = 3$:

  $$y_3 = 2 — \frac{2}{3} = 2 — 0.6667 = 1.3333$$

• Для $n = 4$:

  $$y_4 = 2 — \frac{2}{4} = 2 — 0.5 = 1.5$$

• Для $n = 5$:

  $$y_5 = 2 — \frac{2}{5} = 2 — 0.4 = 1.6$$

• Для $n = 6$:

  $$y_6 = 2 — \frac{2}{6} = 2 — 0.3333 = 1.6667$$

• Для $n = 7$:

  $$y_7 = 2 — \frac{2}{7} = 2 — 0.2857 = 1.7143$$

• Для $n = 8$:

  $$y_8 = 2 — \frac{2}{8} = 2 — 0.25 = 1.75$$

Таблица значений последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 & 1 \frac{1}{3} & 1 \frac{2}{4} & 1 \frac{3}{5} & 1 \frac{4}{6} & 1 \frac{5}{7} & 1 \frac{6}{8} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты

Находим предел функции при $n \to \infty$:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( 2 — \frac{2}{n} \right)$$

Когда $n \to \infty$, $\frac{2}{n} \to 0$, следовательно:

$$y = 2 — 0 = 2$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = 2$$

3) График функции

График функции будет показывать, как значения последовательности стремятся к горизонтальной асимптоте $y = 2$, при этом точки постепенно приближаются к этому значению с увеличением $n$.

г) $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}$

1) Значения последовательности

Подставим значения $n$ от 1 до 8 в формулу $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}$:

• Для $n = 1$:

  $$y_1 = -3 + \frac{1}{1^2} = -3 + 1 = -2$$

• Для $n = 2$:

  $$y_2 = -3 + \frac{1}{2^2} = -3 + 0.25 = -2.75$$

• Для $n = 3$:

  $$y_3 = -3 + \frac{1}{3^2} = -3 + 0.1111 = -2.8889$$

• Для $n = 4$:

  $$y_4 = -3 + \frac{1}{4^2} = -3 + 0.0625 = -2.9375$$

• Для $n = 5$:

  $$y_5 = -3 + \frac{1}{5^2} = -3 + 0.04 = -2.96$$

• Для $n = 6$:

  $$y_6 = -3 + \frac{1}{6^2} = -3 + 0.0278 = -2.9722$$

• Для $n = 7$:

  $$y_7 = -3 + \frac{1}{7^2} = -3 + 0.0204 = -2.9796$$

• Для $n = 8$:

  $$y_8 = -3 + \frac{1}{8^2} = -3 + 0.0156 = -2.9844$$

Таблица значений последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -2 & -2 \frac{3}{4} & -2 \frac{8}{9} & -2 \frac{15}{16} & -2 \frac{24}{25} & -2 \frac{35}{36} & -2 \frac{48}{49} & -2 \frac{63}{64} \\ \hline \end{array}$$

2) Уравнение горизонтальной асимптоты

Находим предел функции при $n \to \infty$:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( -3 + \frac{1}{n^2} \right)$$

Когда $n \to \infty$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, следовательно:

$$y = -3 + 0 = -3$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = -3$$

3) График функции

График функции будет показывать, как значения последовательности стремятся к горизонтальной асимптоте $y = -3$, с приближением точек к этой линии с увеличением $n$.