ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) 3/(x^2-2x-2) — x^2+2x=0;

б) x/(x^2-2) +6(x^2-2)/x = 7;

в) 1-15/(x^2-4x)^2 = 2/(x^2-4x);

г) (x-3)/(x^2+10x+27) = (x^2+10x+27)/(x-3)=-2.

а) $\frac{3}{x^2-2x-2}-x^2+2x=0$;

$$\frac{3}{x(x-2)}-x(x-2)=0;$$

Пусть $y=x(x-2)$, тогда:

$$\frac{3}{y-2}-y=0\mathrm{\mid }\cdot (y-2);$$$$3-y(y-2)=0;$$$$3-y^2+2y=0;$$$$y^2-2y-3=0;$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1\text{и}{y}_2=\frac{2+4}{2}=3;$$

Первое значение:

$$x(x-2)=-1;$$$$x^2-2x+1=0;$$$$(x-1{)}^2=0;$$$$x-1=0;$$$$x=1;$$

Второе значение:

$$x(x-2)=3;$$$$x^2-2x-3=0;$$$$x_1=-1\text{и}{x}_2=3;$$

Ответ: $-1;1;3$.

б) $\frac{x}{x^2-2}+\frac{6(x^2-2)}{x}=7$;

Пусть $y=\frac{x}{x^2-2}$, тогда:

$$y+6\cdot \frac{1}{y}=7\mathrm{\mid }\cdot y;$$$$y^2+6=7y;$$$$y^2-7y+6=0;$$$$D=7^2-4\cdot 6=49-24=25,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{7-5}{2}=1\text{и}{y}_2=\frac{7+5}{2}=6;$$

Первое значение:

$$\frac{x}{x^2-2}=1;$$$$x=x^2-2;$$$$x^2-x-2=0;$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{1+3}{2}=2;$$

Второе значение:

$$\frac{x}{x^2-2}=6;$$$$x=6(x^2-2);$$$$6x^2-x-12=0;$$$$D=1^2+4\cdot 6\cdot 12=1+288=289,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{1-17}{2\cdot 6}=\frac{-16}{12}=-\frac{4}{3};$$$$x_2=\frac{1+17}{2\cdot 6}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2};$$

Ответ: $-\frac{4}{3};-1;\frac{3}{2};2$.

в) $1-\frac{15}{(x^2-4x{)}^2}=\frac{2}{x^2-4x}$;

Пусть $y=x^2-4x$, тогда:

$$1-\frac{15}{y^2}=\frac{2}{y}\mathrm{\mid }\cdot y^2;$$$$y^2-15=2y;$$$$y^2-2y-15=0;$$$$D=2^2+4\cdot 15=4+60=64,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{2-8}{2}=-3\text{и}{y}_2=\frac{2+8}{2}=5;$$

Первое значение:

$$x^2-4x=-3;$$$$x^2-4x+3=0;$$$$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{4-2}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{4+2}{2}=3;$$

Второе значение:

$$x^2-4x=5;$$$$x^2-4x-5=0;$$$$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{4+6}{2}=5;$$

Ответ: $-1;1;3;5$.

г) $\frac{x-3}{x^2+10x+27}+\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-2$;

Пусть $y=\frac{x^2+10x+27}{x-3}$, тогда:

$$y+\frac{1}{y}=-2\mathrm{\mid }\cdot y;$$$$y^2+1=-2y;$$$$y^2+2y+1=0;$$$$(y+1{)}^2=0;$$$$y+1=0;$$$$y=-1;$$

Значение переменной $x$:

$$\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-1;$$$$x^2+10x+27=-(x-3);$$$$x^2+10x+27=3-x;$$$$x^2+11x+24=0;$$$$D={11}^2-4\cdot 24=121-96=25,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{-11-5}{2}=-8\text{и}{x}_2=\frac{-11+5}{2}=-3;$$

Ответ: $-8;-3$.

а) $\frac{3}{x^2-2x-2}-x^2+2x=0$;

Шаг 1. Преобразуем левую часть уравнения:

У нас есть выражение $\frac{3}{x^2-2x-2}-x^2+2x=0$. Для удобства работы с ним начнем с того, чтобы выделить общий знаменатель для обеих частей уравнения.

$$\frac{3}{x(x-2)}-x(x-2)=0;$$

Здесь выражение $x(x-2)$ уже в виде произведения двух множителей. Это знаменатель для первой дроби, и умножение на это же выражение делает знаменатель одинаковым для всех членов уравнения. После умножения на $x(x-2)$ у нас получится:

$$\frac{3}{x(x-2)}-x(x-2)=0;$$

Шаг 2. Вводим замену для упрощения:

Введем замену $y=x(x-2)$, чтобы упростить вычисления. Таким образом, у нас получится:

$$\frac{3}{y-2}-y=0\mathrm{\mid }\cdot (y-2);$$

Шаг 3. Умножаем обе части на $(y-2)$:

Умножим обе стороны уравнения на $(y-2)$, чтобы избавиться от дробей. После этого у нас получится:

$$3-y(y-2)=0;$$

Шаг 4. Раскрываем скобки:

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$$3-y^2+2y=0;$$

Шаг 5. Переносим все в одну сторону:

Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартной форме квадратного уравнения:

$$y^2-2y-3=0;$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $y^2-2y-3=0$ дискриминант будет вычисляться по формуле $D=b^2-4ac$, где $a=1$, $b=-2$, и $c=-3$:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1$$$$y_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3$$

Шаг 7. Находим $x$ для каждого из значений $y$:

Теперь, зная, что $y=x(x-2)$, решаем для $x$ два уравнения.

Первое значение:

$$x(x-2)=-1;$$$$x^2-2x+1=0;$$

Это квадратное уравнение можно решить, заметив, что оно имеет вид полного квадрата:

$$(x-1{)}^2=0$$

Таким образом, корень этого уравнения:

$$x=1$$

Второе значение:

$$x(x-2)=3;$$$$x^2-2x-3=0;$$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1$$$$x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3$$

Ответ:

Корни уравнения: $x=-1,1,3$.

б) $\frac{x}{x^2-2}+\frac{6(x^2-2)}{x}=7$;

Шаг 1. Вводим замену:

Для упрощения введем замену $y=\frac{x}{x^2-2}$. Тогда у нас получится следующее уравнение:

$$y+6\cdot \frac{1}{y}=7\mathrm{\mid }\cdot y;$$

Шаг 2. Умножаем обе части на $y$:

Умножаем обе стороны на $y$ (для того чтобы избавиться от дроби):

$$y^2+6=7y;$$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$y^2-7y+6=0;$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:

Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{7-5}{2}=1$$$$y_2=\frac{-(-7)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{7+5}{2}=6$$

Шаг 5. Находим $x$ для каждого из значений $y$:

Теперь решаем для каждого значения $y$.

Первое значение:

$$\frac{x}{x^2-2}=1;$$$$x=x^2-2;$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2-x-2=0;$$

Решаем с помощью дискриминанта:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2}=-1$$$$x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=2$$

Второе значение:

$$\frac{x}{x^2-2}=6;$$$$x=6(x^2-2);$$

Решаем это уравнение:

$$6x^2-x-12=0;$$

Используем дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-12)=1+288=289$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{289}}{2\cdot 6}=\frac{1-17}{12}=-\frac{4}{3}$$$$x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{289}}{2\cdot 6}=\frac{1+17}{12}=\frac{3}{2}$$

Ответ:

Корни уравнения: $x=-\frac{4}{3},-1,\frac{3}{2},2$.

в) $1-\frac{15}{(x^2-4x{)}^2}=\frac{2}{x^2-4x}$;

Шаг 1. Вводим замену:

Введем замену $y=x^2-4x$, чтобы упростить уравнение:

$$1-\frac{15}{y^2}=\frac{2}{y}\mathrm{\mid }\cdot y^2;$$

Шаг 2. Умножаем на $y^2$:

Умножаем обе стороны уравнения на $y^2$:

$$y^2-15=2y;$$

Шаг 3. Переносим все в одну сторону:

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$y^2-2y-15=0;$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:

Используем дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=4+60=64$$

Находим корни:

$$y_1=\frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2-8}{2}=-3$$$$y_2=\frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{2+8}{2}=5$$

Шаг 5. Находим $x$ для каждого значения $y$:

Первое значение:

$$x^2-4x=-3;$$$$x^2-4x+3=0;$$

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{4-2}{2}=1$$$$x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Второе значение:

$$x^2-4x=5;$$$$x^2-4x-5=0;$$

Решаем с помощью дискриминанта:

$$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1$$$$x_2=\frac{4+6}{2}=5$$

Ответ:

Корни уравнения: $x=-1,1,3,5$.

г) $\frac{x-3}{x^2+10x+27}+\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-2$;

Шаг 1. Вводим замену для упрощения:

Предположим, что $y=\frac{x^2+10x+27}{x-3}$. Тогда уравнение примет вид:

$$y+\frac{1}{y}=-2\mathrm{\mid }\cdot y;$$

Шаг 2. Умножаем обе стороны на $y$:

Умножаем обе стороны на $y$ для устранения дробей:

$$y^2+1=-2y;$$

Шаг 3. Переносим все слагаемые в одну сторону:

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

$$y^2+2y+1=0;$$

Шаг 4. Преобразуем уравнение:

Это уравнение можно представить как полный квадрат:

$$(y+1{)}^2=0;$$

Шаг 5. Находим корень:

Теперь, из уравнения $(y+1{)}^2=0$, мы получаем:

$$y+1=0\Rightarrow y=-1.$$

Шаг 6. Подставляем найденное значение $y$:

Теперь, вспомнив, что $y=\frac{x^2+10x+27}{x-3}$, подставляем $y=-1$ в это выражение:

$$\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-1;$$

Шаг 7. Умножаем обе стороны на $x-3$:

Умножаем обе части уравнения на $x-3$ (при условии, что $x\mathrm{\ne }3$):

$$x^2+10x+27=-(x-3);$$

Шаг 8. Раскрываем скобки:

Раскрываем скобки на правой стороне:

$$x^2+10x+27=-x+3;$$

Шаг 9. Переносим все слагаемые в одну сторону:

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2+10x+27+x-3=0;$$$$x^2+11x+24=0;$$

Шаг 10. Решаем квадратное уравнение:

Теперь решаем квадратное уравнение $x^2+11x+24=0$ с помощью дискриминанта. Для этого у нас $a=1$, $b=11$, и $c=24$, поэтому дискриминант:

$$D=b^2-4ac={11}^2-4\cdot 1\cdot 24=121-96=25.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-11-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-11-5}{2}=\frac{-16}{2}=-8;$$$$x_2=\frac{-11+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-11+5}{2}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Ответ:

Корни уравнения: $x=-8,-3$.