ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x+1}{x-2}$

б) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{3x-4}{2x+7}$

в) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x-4}{x+3}$

г) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{7x+9}{6x-1}$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}} = \frac{1+0}{1-0} = \frac{1}{1} = 1$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{3-\frac{4}{x}}{2+\frac{7}{x}} = \frac{3-0}{2+0} = \frac{3}{2} = 1,5$;

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x}} = \frac{1-0}{1+0} = \frac{1}{1} = 1$;

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{7+\frac{9}{x}}{6-\frac{1}{x}} = \frac{7+0}{6-0} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2}$

Рассматриваем выражение $\frac{x+1}{x-2}$. Это дробь, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковую степень (степень $x$ равна 1).

Чтобы вычислить предел этой дроби при $x \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на $x$, чтобы упростить выражение:

$$\frac{x+1}{x-2} = \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x(1 — \frac{2}{x})} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 — \frac{2}{x}}.$$

Теперь, при $x \to \infty$, $\frac{1}{x} \to 0$ и $\frac{2}{x} \to 0$. Подставим эти значения в выражение:

$$\frac{1 + 0}{1 — 0} = \frac{1}{1} = 1.$$

Таким образом, предел равен:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = 1.$$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7}$

Рассматриваем выражение $\frac{3x-4}{2x+7}$. Это дробь, где степень $x$ в числителе и знаменателе одинакова (степень 1).

Для упрощения разделим числитель и знаменатель на $x$:

$$\frac{3x-4}{2x+7} = \frac{x(3 — \frac{4}{x})}{x(2 + \frac{7}{x})} = \frac{3 — \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}}.$$

При $x \to \infty$, $\frac{4}{x} \to 0$ и $\frac{7}{x} \to 0$. Подставим эти значения в выражение:

$$\frac{3 — 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}.$$

Таким образом, предел равен:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} = \frac{3}{2} = 1,5.$$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3}$

Рассматриваем выражение $\frac{x-4}{x+3}$. Это дробь, где степень $x$ в числителе и знаменателе одинакова (степень 1).

Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$$\frac{x-4}{x+3} = \frac{x(1 — \frac{4}{x})}{x(1 + \frac{3}{x})} = \frac{1 — \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}}.$$

При $x \to \infty$, $\frac{4}{x} \to 0$ и $\frac{3}{x} \to 0$. Подставим эти значения:

$$\frac{1 — 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1.$$

Таким образом, предел равен:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} = 1.$$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1}$

Рассматриваем выражение $\frac{7x+9}{6x-1}$. Это дробь, где степень $x$ в числителе и знаменателе одинакова (степень 1).

Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$$\frac{7x+9}{6x-1} = \frac{x(7 + \frac{9}{x})}{x(6 — \frac{1}{x})} = \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 — \frac{1}{x}}.$$

При $x \to \infty$, $\frac{9}{x} \to 0$ и $\frac{1}{x} \to 0$. Подставим эти значения:

$$\frac{7 + 0}{6 — 0} = \frac{7}{6}.$$

Таким образом, предел равен:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}.$$