ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2-x}$

б) ${\lim }_{x\to -1}\frac{x+1}{x^2+x}$

в) ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-3x}{x-3}$

г) ${\lim }_{x\to 5}\frac{x+5}{x^2+5x}$

а) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 — x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(x-1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x-1} = \frac{0}{0-1} = 0$;

б) $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^2 + x} = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x} = \frac{1}{-1} = -1$;

в) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 — 3x}{x — 3} = \lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} x = 3$;

г) $\lim_{x \to 5} \frac{x+5}{x^2 + 5x} = \lim_{x \to 5} \frac{x+5}{x(x+5)} = \lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = \frac{1}{5} = 0,2$

а) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 — x}$

Первоначальное выражение:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 — x}$$

Факторизация знаменателя:
Заменим знаменатель, чтобы упростить выражение. Мы можем выделить общий множитель $x$ в знаменателе:

$$x^2 — x = x(x — 1)$$

Таким образом, выражение становится:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(x — 1)}$$

Упрощение дроби:
Теперь мы можем сократить общий множитель $x$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x \neq 0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x — 1}$$

Подстановка значения $x = 0$:
Теперь, подставим $x = 0$ в выражение:

$$\frac{0}{0 — 1} = \frac{0}{-1} = 0$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 — x} = 0$$

б) $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^2 + x}$

Первоначальное выражение:

$$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^2 + x}$$

Факторизация знаменателя:
В знаменателе можно выделить общий множитель $x$:

$$x^2 + x = x(x + 1)$$

Теперь выражение примет вид:

$$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x(x+1)}$$

Упрощение дроби:
Мы можем сократить общий множитель $(x+1)$ в числителе и знаменателе при условии, что $x \neq -1$:

$$\lim_{x \to -1} \frac{1}{x}$$

Подстановка значения $x = -1$:
Теперь подставим $x = -1$ в выражение:

$$\frac{1}{-1} = -1$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^2 + x} = -1$$

в) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 — 3x}{x — 3}$

Первоначальное выражение:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 — 3x}{x — 3}$$

Факторизация числителя:
Мы можем выделить общий множитель $x$ в числителе:

$$x^2 — 3x = x(x — 3)$$

Теперь выражение примет вид:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x(x — 3)}{x — 3}$$

Упрощение дроби:
Сократим общий множитель $(x — 3)$ в числителе и знаменателе при условии, что $x \neq 3$:

$$\lim_{x \to 3} x$$

Подстановка значения $x = 3$:
Теперь подставим $x = 3$ в выражение:

$$3$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 — 3x}{x — 3} = 3$$

г) $\lim_{x \to 5} \frac{x+5}{x^2 + 5x}$

Первоначальное выражение:

$$\lim_{x \to 5} \frac{x+5}{x^2 + 5x}$$

Факторизация знаменателя:
В знаменателе можно выделить общий множитель $x$:

$$x^2 + 5x = x(x + 5)$$

Теперь выражение примет вид:

$$\lim_{x \to 5} \frac{x+5}{x(x + 5)}$$

Упрощение дроби:
Сократим общий множитель $(x+5)$ в числителе и знаменателе при условии, что $x \neq -5$:

$$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x}$$

Подстановка значения $x = 5$:
Теперь подставим $x = 5$ в выражение:

$$\frac{1}{5} = 0,2$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 5} \frac{x+5}{x^2 + 5x} = 0,2$$