ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

a) ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

б) ${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-4}{2+x}$

в) ${\lim }_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}{}_{}$

г) ${\lim }_{x\to -3}\frac{3+x}{x^2-9}$

a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 — 1}{x — 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2$;

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 — 4}{2 + x} = \lim_{x \to -2} \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = \lim_{x \to -2} (x-2) = -2 — 2 = -4$;

в) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 — 25}{x — 5} = \lim_{x \to 5} \frac{(x-5)(x+5)}{x-5} = \lim_{x \to 5} (x+5) = 5 + 5 = 10$;

г) $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 — 9} = \lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{(x-3)(x+3)} = \lim_{x \to -3} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{-3-3} = -\frac{1}{6}$

Задача а)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 — 1}{x — 1}$$

Начнем с того, что числитель можно разложить на множители:

$$x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)$$

Таким образом, выражение преобразуется:

$$\frac{x^2 — 1}{x — 1} = \frac{(x — 1)(x + 1)}{x — 1}$$

Для $x \neq 1$ можно сократить множители $x — 1$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(x — 1)(x + 1)}{x — 1} = x + 1$$

Теперь можем вычислить предел:

$$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$

Ответ: 2.

Задача б)

$$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 — 4}{2 + x}$$

Для числителя опять используем разложение на множители:

$$x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{x^2 — 4}{2 + x} = \frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2}$$

Для $x \neq -2$ мы можем сократить множители $x + 2$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2} = x — 2$$

Теперь вычисляем предел:

$$\lim_{x \to -2} (x — 2) = -2 — 2 = -4$$

Ответ: -4.

Задача в)

$$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 — 25}{x — 5}$$

Числитель раскладывается на множители:

$$x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)$$

Подставляем это в выражение:

$$\frac{x^2 — 25}{x — 5} = \frac{(x — 5)(x + 5)}{x — 5}$$

Для $x \neq 5$ мы можем сократить множители $x — 5$:

$$\frac{(x — 5)(x + 5)}{x — 5} = x + 5$$

Вычисляем предел:

$$\lim_{x \to 5} (x + 5) = 5 + 5 = 10$$

Ответ: 10.

Задача г)

$$\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 — 9}$$

Начнем с разложения знаменателя:

$$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$$

Теперь преобразуем выражение:

$$\frac{3 + x}{x^2 — 9} = \frac{3 + x}{(x — 3)(x + 3)}$$

В числителе $3 + x = x + 3$, таким образом, выражение можно переписать так:

$$\frac{x + 3}{(x — 3)(x + 3)}$$

Мы можем сократить множители $x + 3$ в числителе и знаменателе для $x \neq -3$:

$$\frac{x + 3}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{1}{x — 3}$$

Теперь вычисляем предел:

$$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x — 3} = \frac{1}{-3 — 3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$$

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

Итоги:

Задача а): $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 — 1}{x — 1} = 2$

Задача б): $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 — 4}{2 + x} = -4$

Задача в): $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 — 25}{x — 5} = 10$

Задача г): $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 — 9} = -\frac{1}{6}$