ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите приращение функции $y=f(x)$ при переходе от точки $x$ к точке $x+\mathrm{\Delta }x$, если:

а) $f(x)=3x+5$;

в) $f(x)=4-2x$;

б) $f(x)=-x^2$;

г) $f(x)=2x^2$.

а) $f(x)=3x+5$:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=3(x+\mathrm{\Delta }x)+5-3x-5=$$

$$=3x+3\mathrm{\Delta }x-3x=3\mathrm{\Delta }x;$$

б) $f(x)=-x^2$:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=-(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2+x^2=-x^2-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2+x^2=$$

$$=-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2;$$

в) $f(x)=4-2x$:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=4-2(x+\mathrm{\Delta }x)-4+2x=$$

$$=-2x-2\mathrm{\Delta }x+2x=-2\mathrm{\Delta }x;$$

г) $f(x)=2x^2$:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=2(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-2x^2=2x^2+4x\mathrm{\Delta }x+$$

$$+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2-2x^2=4x\mathrm{\Delta }x+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Нахождение приращения функции

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$$

при переходе от $x$ к $x+\mathrm{\Delta }x$.

а) $f(x)=3x+5$

Шаг 1: Вычисляем значение функции в точке $x+\mathrm{\Delta }x$:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=3(x+\mathrm{\Delta }x)+5$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=3x+3\mathrm{\Delta }x+5$$

Шаг 3: Подставим $f(x)=3x+5$, найдём разность:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=(3x+3\mathrm{\Delta }x+5)-(3x+5)$$

Шаг 4: Раскроем скобки:

$$\mathrm{\Delta }y=3x+3\mathrm{\Delta }x+5-3x-5$$

Шаг 5: Упростим:

$$\mathrm{\Delta }y=(3x-3x)+(5-5)+3\mathrm{\Delta }x=3\mathrm{\Delta }x$$

Ответ:

$$\mathrm{\Delta }y=3\mathrm{\Delta }x$$

б) $f(x)=-x^2$

Шаг 1: Вычисляем $f(x+\mathrm{\Delta }x)$:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=-(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Шаг 2: Раскроем квадрат по формуле $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=-(x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2)$$

Шаг 3: Раскроем минус:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=-x^2-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Шаг 4: $f(x)=-x^2$, поэтому:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=(-x^2-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2)-(-x^2)$$

Шаг 5: Раскроем скобки:

$$\mathrm{\Delta }y=-x^2-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2+x^2$$

Шаг 6: Упростим:

$$\mathrm{\Delta }y=(-x^2+x^2)-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2=-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Ответ:

$$\mathrm{\Delta }y=-2x\mathrm{\Delta }x-(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

в) $f(x)=4-2x$

Шаг 1: Вычислим $f(x+\mathrm{\Delta }x)$:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=4-2(x+\mathrm{\Delta }x)$$

Шаг 2: Раскроем скобки:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=4-2x-2\mathrm{\Delta }x$$

Шаг 3: $f(x)=4-2x$, тогда:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=(4-2x-2\mathrm{\Delta }x)-(4-2x)$$

Шаг 4: Раскроем скобки:

$$\mathrm{\Delta }y=4-2x-2\mathrm{\Delta }x-4+2x$$

Шаг 5: Упростим:

$$\mathrm{\Delta }y=(4-4)+(-2x+2x)-2\mathrm{\Delta }x=-2\mathrm{\Delta }x$$

Ответ:

$$\mathrm{\Delta }y=-2\mathrm{\Delta }x$$

г) $f(x)=2x^2$

Шаг 1: Вычислим $f(x+\mathrm{\Delta }x)$:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=2(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Шаг 2: Раскроем квадрат:

$$(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2=x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Шаг 3: Подставим:

$$f(x+\mathrm{\Delta }x)=2(x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2)=2x^2+4x\mathrm{\Delta }x+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Шаг 4: $f(x)=2x^2$, значит:

$$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=(2x^2+4x\mathrm{\Delta }x+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2)-2x^2$$

Шаг 5: Упростим:

$$\mathrm{\Delta }y=2x^2-2x^2+4x\mathrm{\Delta }x+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2=4x\mathrm{\Delta }x+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$

Ответ:

$$\mathrm{\Delta }y=4x\mathrm{\Delta }x+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2$$