ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для функции $y = f(x)$ найдите $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = kx + m$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$;

б) $f(x) = ax^2$;

г) $f(x) = \sqrt{x}$.

а) $f(x) = kx + m$:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = k(x + \Delta x) + m — kx — m = kx + k\Delta x — kx = k\Delta x;$$

б) $f(x) = ax^2$:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = a(x + \Delta x)^2 — ax^2 =$$ $$= ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 — ax^2 = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2;$$

в) $f(x) = \frac{1}{x}$:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)};$$

г) $f(x) = \sqrt{x}$:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$$

а) $f(x) = kx + m$

Шаг 1. Запишем определение приращения функции:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Шаг 2. Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

• $f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + m$
• $f(x) = kx + m$

Шаг 3. Подставим эти выражения в формулу приращения:

$$\Delta f = \left[ k(x + \Delta x) + m \right] — \left[ kx + m \right]$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$\Delta f = kx + k\Delta x + m — kx — m$$

Шаг 5. Приведём подобные члены:

• $+kx$ и $-kx$ взаимно уничтожаются
• $+m$ и $-m$ тоже

$$\Delta f = k\Delta x$$

Ответ:

$$\boxed{\Delta f = k\Delta x;}$$

б) $f(x) = ax^2$

Шаг 1. По определению:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Шаг 2. Выразим каждую часть:

• $f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2$
• $f(x) = ax^2$

Шаг 3. Подставим:

$$\Delta f = a(x + \Delta x)^2 — ax^2$$

Шаг 4. Раскроем квадрат по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 5. Подставим в выражение:

$$\Delta f = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) — ax^2$$

Шаг 6. Раскроем скобки:

$$= ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 — ax^2$$

Шаг 7. Сократим одинаковые члены:

• $+ax^2$ и $-ax^2$ сокращаются

$$\Delta f = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$$

Ответ:

$$\boxed{\Delta f = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2;}$$

в) $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Шаг 1. По определению:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Шаг 2. Подставим:

$$\Delta f = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}$$

Шаг 3. Приведём к общему знаменателю:
Общий знаменатель: $x(x + \Delta x)$

$$\Delta f = \frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 4. Раскроем числитель:

$$x — (x + \Delta x) = x — x — \Delta x = -\Delta x$$

Шаг 5. Подставим:

$$\Delta f = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Ответ:

$$\boxed{\Delta f = -\dfrac{\Delta x}{x(x + \Delta x)};}$$

г) $f(x) = \sqrt{x}$

Шаг 1. По определению:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Шаг 2. Подставим выражения:

• $f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x}$
• $f(x) = \sqrt{x}$

Шаг 3. Подставим:

$$\Delta f = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$$

Ответ:

$$\boxed{\Delta f = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}$$