ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Точки $x$ и $y$ являются граничными точками некоторой $\epsilon$-окрестности.

а) $x=12,5$ и $y=12,7$;

Левая граница окрестности:

$$a-\epsilon =12,5;$$$$\epsilon =a-12,5;$$

Правая граница окрестности:

$$a+\epsilon =12,7;$$$$\epsilon =12,7-a;$$

Значение $\epsilon$:

$$\epsilon +\epsilon =a-12,5+12,7-a;$$$$2\epsilon =0,2;$$$$\epsilon =0,1;$$

Ответ: $\epsilon =0,1$.

б) $x=32,31$ и $y=31,32$;

Левая граница окрестности:

$$a-\epsilon =31,32;$$$$\epsilon =a-31,32;$$

Правая граница окрестности:

$$a+\epsilon =32,31;$$$$\epsilon =32,31-a;$$

Значение $\epsilon$:

$$\epsilon +\epsilon =a-31,32+32,31-a;$$$$2\epsilon =0,99;$$$$\epsilon =0,495;$$

Ответ: $\epsilon =0,495$.

в) $x=-2,9$ и $y=3,3$;

Левая граница окрестности:

$$a-\epsilon =-2,9;$$$$\epsilon =a+2,9;$$

Правая граница окрестности:

$$a+\epsilon =3,3;$$$$\epsilon =3,3-a;$$

Значение $\epsilon$:

$$\epsilon +\epsilon =a+2,9+3,3-a;$$$$2\epsilon =6,2;$$$$\epsilon =3,1;$$

Ответ: $\epsilon =3,1$.

г) $x=-31$ и $y=-29,8$;

Левая граница окрестности:

$$a-\epsilon =-31;$$$$\epsilon =a+31;$$

Правая граница окрестности:

$$a+\epsilon =-29,8;$$$$\epsilon =-29,8-a;$$

Значение $\epsilon$:

$$\epsilon +\epsilon =a+31-29,8-a;$$$$2\epsilon =1,2;$$$$\epsilon =0,6;$$

Ответ: $\epsilon =0,6$.

Точки $x$ и $y$ являются граничными точками некоторой $\epsilon$-окрестности. Найдите значение $\epsilon$ для каждой из ситуаций, приведённых ниже.

а) $x=12,5$ и $y=12,7$:

Необходимо найти значение $\epsilon$, если точки $x$ и $y$ находятся на расстоянии $\epsilon$ друг от друга, т.е. точка $x$ и точка $y$ являются граничными точками $\epsilon$-окрестности для некоторой точки $a$.

Левая граница окрестности:
Мы знаем, что левая граница $a-\epsilon$ должна быть равна 12,5, так как точка $x=12,5$ является левой границей.

Запишем это как:

$$a-\epsilon =12,5$$

Отсюда выражаем $\epsilon$ как:

$$\epsilon =a-12,5$$

Правая граница окрестности:
Правая граница окрестности будет равна 12,7, так как точка $y=12,7$ является правой границей.

Запишем это как:

$$a+\epsilon =12,7$$

Теперь выразим $\epsilon$ как:

$$\epsilon =12,7-a$$

Значение $\epsilon$:
Теперь, чтобы найти значение $\epsilon$, приравняем оба выражения для $\epsilon$. Из первого выражения мы имеем $\epsilon =a-12,5$, а из второго — $\epsilon =12,7-a$.

Приравняем эти два выражения:

$$a-12,5=12,7-a$$

Решим это уравнение для $a$:

$$2a=12,7+12,5$$$$2a=25,2$$$$a=12,6$$

Подставим значение $a=12,6$ в одно из выражений для $\epsilon$, например, в $\epsilon =a-12,5$:

$$\epsilon =12,6-12,5=0,1$$

Ответ: $\epsilon =0,1$.

б) $x=32,31$ и $y=31,32$:

Аналогично, нам нужно найти $\epsilon$, если точки $x=32,31$ и $y=31,32$ являются граничными точками некоторой $\epsilon$-окрестности.

Левая граница окрестности:
Точка $x=31,32$ является левой границей. Запишем это как:

$$a-\epsilon =31,32$$

Отсюда:

$$\epsilon =a-31,32$$

Правая граница окрестности:
Точка $y=32,31$ является правой границей. Запишем это как:

$$a+\epsilon =32,31$$

Выражаем $\epsilon$ как:

$$\epsilon =32,31-a$$

Значение $\epsilon$:
Приравниваем два выражения для $\epsilon$:

$$a-31,32=32,31-a$$

Решим для $a$:

$$2a=32,31+31,32$$$$2a=63,63$$$$a=31,815$$

Подставим $a=31,815$ в одно из выражений для $\epsilon$:

$$\epsilon =32,31-31,815=0,495$$

Ответ: $\epsilon =0,495$.

в) $x=-2,9$ и $y=3,3$:

Здесь точки $x=-2,9$ и $y=3,3$ представляют собой граничные точки $\epsilon$-окрестности.

Левая граница окрестности:
Точка $x=-2,9$ является левой границей, и записываем:

$$a-\epsilon =-2,9$$

Отсюда:

$$\epsilon =a+2,9$$

Правая граница окрестности:
Точка $y=3,3$ является правой границей, и записываем:

$$a+\epsilon =3,3$$

Выражаем $\epsilon$:

$$\epsilon =3,3-a$$

Значение $\epsilon$:
Приравниваем два выражения для $\epsilon$:

$$a+2,9=3,3-a$$

Решим для $a$:

$$2a=3,3-2,9$$$$2a=6,2$$$$a=3,1$$

Подставим $a=3,1$ в одно из выражений для $\epsilon$:

$$\epsilon =3,3-3,1=0,2$$

Ответ: $\epsilon =3,1$.

г) $x=-31$ и $y=-29,8$:

Для последних данных точек $x=-31$ и $y=-29,8$, нам также нужно найти значение $\epsilon$.

Левая граница окрестности:
Точка $x=-31$ является левой границей, и записываем:

$$a-\epsilon =-31$$

Отсюда:

$$\epsilon =a+31$$

Правая граница окрестности:
Точка $y=-29,8$ является правой границей, и записываем:

$$a+\epsilon =-29,8$$

Выражаем $\epsilon$:

$$\epsilon =-29,8-a$$

Значение $\epsilon$:
Приравниваем два выражения для $\epsilon$:

$$a+31=-29,8-a$$

Решим для $a$:

$$2a=-29,8-31$$$$2a=-60,8$$$$a=-30,4$$

Подставим $a=-30,4$ в одно из выражений для $\epsilon$:

$$\epsilon =-29,8-(-30,4)=0,6$$

Ответ: $\epsilon =0,6$.

Итоговые ответы:

• $\epsilon =0,1$ для $x=12,5$ и $y=12,7$
• $\epsilon =0,495$ для $x=32,31$ и $y=31,32$
• $\epsilon =3,1$ для $x=-2,9$ и $y=3,3$
• $\epsilon =0,6$ для $x=-31$ и $y=-29,8$