1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
GDZ
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники — Ответы на Любые Задачи Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс по Алгебре — Онлайн Решение Задач Бесплатно
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.10 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
10 класс
Класс
10
Предмет
ГДЗ Мордкович 7, 8, 9, 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.
Год
2015-2020.
Издательство
Мнемозина.
Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х:

а) y=xy = \sqrt{x}

б) y=1x2y = \frac{1}{x^2}

в) y=x+1y = \sqrt{x} + 1

г) y=x3y = x^3

Краткий ответ

а) y=xy = \sqrt{x}:

f(x+Δx)=x+Δxf(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x};

Δy=f(x+Δx)−f(x)=x+Δx−x\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x};

ΔyΔx=x+Δx−xΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x};

lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0x+Δx−xΔx=lim⁡Δx→0x+Δx−xΔx⋅(x+Δx+x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x + \Delta x — x}{\Delta x \cdot (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} =

=lim⁡Δx→0ΔxΔx(x+Δx+x)=lim⁡Δx→01x+Δx+x=1x+0+x=12x= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Ответ: y′=12xy’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

б) y=1x2y = \frac{1}{x^2}:

f(x+Δx)=1(x+Δx)2f(x + \Delta x) = \frac{1}{(x + \Delta x)^2};

Δy=f(x+Δx)−f(x)=1(x+Δx)2−1x2=x2−(x+Δx)2x2(x+Δx)2=\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{(x + \Delta x)^2} — \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 — (x + \Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} =

=x2−x2−2xΔx−(Δx)2x2(x+Δx)2=−2xΔx+(Δx)2x2(x+Δx)2= \frac{x^2 — x^2 — 2x \Delta x — (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2};

ΔyΔx=−2xΔx+(Δx)2x2(x+Δx)2:Δx=−2x+Δxx2(x+Δx)2\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} : \Delta x = -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2};

lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0(−2x+Δxx2(x+Δx)2)=−2x+0x2⋅(x+0)2=−2xx4=−2x3\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2} \right) = -\frac{2x + 0}{x^2 \cdot (x + 0)^2} = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}.

Ответ: y′=−2x3y’ = -\frac{2}{x^3}.

в) y=x+1y = \sqrt{x} + 1:

f(x+Δx)=x+Δx+1f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x} + 1;

Δy=f(x+Δx)−f(x)=x+Δx+1−x−1=x+Δx−x\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} + 1 — \sqrt{x} — 1 = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x};

ΔyΔx=x+Δx−xΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x};

lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0x+Δx−xΔx=lim⁡Δx→0x+Δx−xΔx⋅(x+Δx+x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x + \Delta x — x}{\Delta x \cdot (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} =

=lim⁡Δx→0ΔxΔx(x+Δx+x)=lim⁡Δx→01x+Δx+x=1x+0+x=12x= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Ответ: y′=12xy’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

г) y=x3y = x^3:

f(x+Δx)=(x+Δx)3=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^3 = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3;

Δy=f(x+Δx)−f(x)=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3−x3=\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 — x^3 =

=Δx(3x2+3xΔx+(Δx)2)= \Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2);

ΔyΔx=Δx(3x2+3xΔx+(Δx)2)Δx=3x2+3xΔx+(Δx)2\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = 3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2;

lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0(3x2+3xΔx+(Δx)2)=3x2+3x⋅0+02=3x2\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2) = 3x^2 + 3x \cdot 0 + 0^2 = 3x^2.

Ответ: y′=3x2y’ = 3x^2.

Подробный ответ

а) y=xy = \sqrt{x}

Найти производную функции по определению.

1) f(x+Δx)f(x + \Delta x):
Подставим x+Δxx + \Delta x в функцию:

f(x+Δx)=x+Δxf(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x}

2) Δy\Delta y:
Изменение функции:

Δy=f(x+Δx)−f(x)=x+Δx−x\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}

3) ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}:
Среднее изменение функции:

ΔyΔx=x+Δx−xΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}

4) Переход к пределу:

lim⁡Δx→0x+Δx−xΔx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

x+Δx−xΔx⋅x+Δx+xx+Δx+x\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}

В числителе:

(x+Δx−x)(x+Δx+x)=(x+Δx)−x=Δx(\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}) = (x + \Delta x) — x = \Delta x

В знаменателе:

Δx⋅(x+Δx+x)\Delta x \cdot (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})

Итог:

ΔxΔx(x+Δx+x)=1x+Δx+x\frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}

Предел:

lim⁡Δx→01x+Δx+x=12x\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ответ:

y′=12xy’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}

б) y=1x2y = \frac{1}{x^2}

1) f(x+Δx)f(x + \Delta x):

f(x+Δx)=1(x+Δx)2f(x + \Delta x) = \frac{1}{(x + \Delta x)^2}

2) Δy\Delta y:

Δy=1(x+Δx)2−1x2\Delta y = \frac{1}{(x + \Delta x)^2} — \frac{1}{x^2}

Приведём к общему знаменателю:

x2−(x+Δx)2x2(x+Δx)2\frac{x^2 — (x + \Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2}

Раскроем скобки в числителе:

(x+Δx)2=x2+2xΔx+(Δx)2(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 x2−(x2+2xΔx+(Δx)2)=−2xΔx−(Δx)2x^2 — (x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2) = -2x \Delta x — (\Delta x)^2

Итак:

Δy=−2xΔx+(Δx)2x2(x+Δx)2\Delta y = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2}

3) ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}:

ΔyΔx=−2xΔx+(Δx)2x2(x+Δx)2⋅1Δx=−2x+Δxx2(x+Δx)2\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} \cdot \frac{1}{\Delta x} = -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2}

4) Предел:

lim⁡Δx→0(−2x+Δxx2(x+Δx)2)\lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2} \right)

При Δx→0\Delta x \to 0:

  • 2x+Δx→2x2x + \Delta x \to 2x
  • x+Δx→xx + \Delta x \to x

⇒2x+Δxx2(x+Δx)2→2xx2⋅x2=2xx4=2x3\Rightarrow \frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2} \to \frac{2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}

С учётом знака:

lim⁡Δx→0ΔyΔx=−2x3\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{2}{x^3}

Ответ:

y′=−2x3y’ = -\frac{2}{x^3}

в) y=x+1y = \sqrt{x} + 1

1) f(x+Δx)f(x + \Delta x):

f(x+Δx)=x+Δx+1f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x} + 1

2) Δy\Delta y:

Δy=x+Δx+1−(x+1)=x+Δx−x\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} + 1 — (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}

3) ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}:

x+Δx−xΔx\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}

4) Предел (то же, что в пункте а):

Домножаем на сопряжённое:

x+Δx−xΔx⋅x+Δx+xx+Δx+x=1x+Δx+x→12x\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ответ:

y′=12xy’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}

г) y=x3y = x^3

1) f(x+Δx)f(x + \Delta x):

f(x+Δx)=(x+Δx)3f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^3

Раскрываем по формуле куба суммы:

(x+Δx)3=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3(x + \Delta x)^3 = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3

2) Δy\Delta y:

Δy=f(x+Δx)−f(x)=(x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3)−x3\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = (x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) — x^3

Сокращаем x3x^3:

Δy=3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3=Δx(3x2+3xΔx+(Δx)2)\Delta y = 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 = \Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2)

3) ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}:

Δx(3x2+3xΔx+(Δx)2)Δx=3x2+3xΔx+(Δx)2\frac{\Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = 3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2

4) Предел:

lim⁡Δx→0(3x2+3xΔx+(Δx)2)=3x2+0+0=3x2\lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2) = 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2

Ответ:

y′=3x2y’ = 3x^2

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке
Общая оценка
3.5 / 5
Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Другие предметы
Алгебра
7-10 класс
7 10 10