ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х:

а) $y = \sqrt{x}$

б) $y = \frac{1}{x^2}$

в) $y = \sqrt{x} + 1$

г) $y = x^3$

а) $y = \sqrt{x}$:

$f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x}$;

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x + \Delta x — x}{\Delta x \cdot (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} =$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

б) $y = \frac{1}{x^2}$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{(x + \Delta x)^2}$;

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{(x + \Delta x)^2} — \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 — (x + \Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} =$

$= \frac{x^2 — x^2 — 2x \Delta x — (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2}$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} : \Delta x = -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2}$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2} \right) = -\frac{2x + 0}{x^2 \cdot (x + 0)^2} = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$.

Ответ: $y’ = -\frac{2}{x^3}$.

в) $y = \sqrt{x} + 1$:

$f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x} + 1$;

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} + 1 — \sqrt{x} — 1 = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x + \Delta x — x}{\Delta x \cdot (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} =$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

г) $y = x^3$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^3 = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$;

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 — x^3 =$

$= \Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2)$;

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = 3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2$;

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2) = 3x^2 + 3x \cdot 0 + 0^2 = 3x^2$.

Ответ: $y’ = 3x^2$.

а) $y = \sqrt{x}$

Найти производную функции по определению.

1) $f(x + \Delta x)$:
Подставим $x + \Delta x$ в функцию:

$$f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x}$$

2) $\Delta y$:
Изменение функции:

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$$

3) $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:
Среднее изменение функции:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}$$

4) Переход к пределу:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}$$

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$$

В числителе:

$$(\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}) = (x + \Delta x) — x = \Delta x$$

В знаменателе:

$$\Delta x \cdot (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})$$

Итог:

$$\frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$$

Предел:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

б) $y = \frac{1}{x^2}$

1) $f(x + \Delta x)$:

$$f(x + \Delta x) = \frac{1}{(x + \Delta x)^2}$$

2) $\Delta y$:

$$\Delta y = \frac{1}{(x + \Delta x)^2} — \frac{1}{x^2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^2 — (x + \Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2$$ $$x^2 — (x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2) = -2x \Delta x — (\Delta x)^2$$

Итак:

$$\Delta y = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2}$$

3) $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{x^2 (x + \Delta x)^2} \cdot \frac{1}{\Delta x} = -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2}$$

4) Предел:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2} \right)$$

При $\Delta x \to 0$:

• $2x + \Delta x \to 2x$
• $x + \Delta x \to x$

$$\Rightarrow \frac{2x + \Delta x}{x^2 (x + \Delta x)^2} \to \frac{2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}$$

С учётом знака:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{2}{x^3}$$

Ответ:

$$y’ = -\frac{2}{x^3}$$

в) $y = \sqrt{x} + 1$

1) $f(x + \Delta x)$:

$$f(x + \Delta x) = \sqrt{x + \Delta x} + 1$$

2) $\Delta y$:

$$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} + 1 — (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$$

3) $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$$\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}$$

4) Предел (то же, что в пункте а):

Домножаем на сопряжённое:

$$\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

г) $y = x^3$

1) $f(x + \Delta x)$:

$$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^3$$

Раскрываем по формуле куба суммы:

$$(x + \Delta x)^3 = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$$

2) $\Delta y$:

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = (x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) — x^3$$

Сокращаем $x^3$:

$$\Delta y = 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 = \Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2)$$

3) $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$$\frac{\Delta x (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = 3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2$$

4) Предел:

$$\lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2) = 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2$$

Ответ:

$$y’ = 3x^2$$