ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке $x_0$ или докажите, что она не существует:

а)
$y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -2x + 3, & \text{если } x < 0; \end{cases} \quad x_0 = 0.$

б)
$y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -2x^2, & \text{если } x < 0; \end{cases} \quad x_0 = 0.$

в)
$y = \begin{cases} -4x + 2, & \text{если } x \geqslant 3, \\ 2x — 4, & \text{если } x < 3; \end{cases} \quad x_0 = 3.$

г)
$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \text{если }x⩽1,\\ 2x-1,& \text{если }x>1;\end{array}{x}_0=1.$

а)

$$y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \geq 0 \\ -2x + 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}, \quad x_0 = 0;$$

График функции:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & -2 & 0 & 0 & 2 \\ \hline y & 7 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$$

Точка $x_0 = 0$ является точкой разрыва функции, следовательно производной при данном значении аргумента не существует;

Ответ: не существует.

б)

$$y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}, \quad x_0 = 0;$$

График функции:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -8 & -2 & 0 & 0 & 2 & 8 \\ \end{array}$$

Искомая точка принадлежит функции $y = 2x^2$;

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{2(x + \Delta x)^2 — 2x^2}{\Delta x} =$$ $$= \frac{2x^2 + 4x \Delta x + 2(\Delta x)^2 — 2x^2}{\Delta x} = \frac{4x \Delta x + 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 4x + 2\Delta x;$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (4x + 2\Delta x) = 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y’ = 0$.

в)

$$y = \begin{cases} -4x + 2, & \text{если } x \geq 3 \\ 2x — 4, & \text{если } x < 3 \end{cases}, \quad x_0 = 3;$$

График функции:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & 2 & 3 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 2 & -10 & -14 \\ \end{array}$$

Точка $x_0 = 3$ является точкой разрыва функции, следовательно производной при данном значении аргумента не существует;

Ответ: не существует.

г)

$$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \leq 1 \\ 2x — 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}, \quad x_0 = 1;$$

График функции:

$$\begin{array}{c|c c c c c c c} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array}$$

Искомая точка принадлежит функции $y = x^2$;

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} =$$ $$= \frac{x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} = \frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x;$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2 \cdot 1 + 0 = 2;$$

Ответ: $y’ = 2$.

а)

$$y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \geq 0 \\ -2x + 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}, \quad x_0 = 0;$$

1. Построение таблицы значений функции

Подставим значения $x$ в обе части функции:

• Если $x = -2$, то по условию $x < 0$, используем ветку:

  $$y = -2x + 3 = -2 \cdot (-2) + 3 = 4 + 3 = 7$$

• Если $x = 0$, то $x \geq 0$, используем ветку:

  $$y = 3x = 3 \cdot 0 = 0$$

• Если $x = 0$, по ветке $x < 0$:

  $$y = -2x + 3 = -2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$$

  (Эта строка показывает несоответствие значений функции при $x = 0$, что указывает на разрыв.)

• Если $x = 2$, то $x \geq 0$, используем ветку:

  $$y = 3x = 3 \cdot 2 = 6$$

Таблица:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & -2 & 0 & 0 & 2 \\ \hline y & 7 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$$

2. Анализ точки $x_0 = 0$

Проверим, существует ли предел функции слева и справа от точки $x = 0$:

• Слева от 0:
  $\lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} (-2x + 3) = -2 \cdot 0 + 3 = 3$
• Справа от 0:
  $\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} (3x) = 3 \cdot 0 = 0$

Так как $\lim_{x \to 0^-} f(x) \ne \lim_{x \to 0^+} f(x)$, функция разрывна в точке $x = 0$.

3. Вывод по производной

Поскольку функция разрывна в точке $x = 0$, производная в этой точке не существует.

Ответ: не существует.

б)

$$y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}, \quad x_0 = 0;$$

1. Таблица значений

• $x = -2$: $x < 0$, значит
  $y = -2x^2 = -2 \cdot 4 = -8$
• $x = -1$:
  $y = -2 \cdot 1 = -2$
• $x = 0$:
  При $x = 0$ попадает в ветку $x \geq 0$:
  $y = 2 \cdot 0^2 = 0$
• (Дополнительно: $x = 0$ при $x < 0$:
  $y = -2 \cdot 0^2 = 0$ — значения совпадают)
• $x = 1$:
  $y = 2 \cdot 1 = 2$
• $x = 2$:
  $y = 2 \cdot 4 = 8$

Таблица:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -8 & -2 & 0 & 0 & 2 & 8 \\ \end{array}$$

2. Принадлежность точки

Так как $x_0 = 0 \in [0, +\infty)$, то эта точка принадлежит функции $y = 2x^2$.

3. Производная через приращение

Формула приращения:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

Подставляем $f(x) = 2x^2$:

$$f(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x)^2 = 2(x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2) = 2x^2 + 4x \Delta x + 2(\Delta x)^2$$

Вычитаем:

$$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{(2x^2 + 4x \Delta x + 2(\Delta x)^2) — 2x^2}{\Delta x} = \frac{4x \Delta x + 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 4x + 2\Delta x$$

4. Предел при $\Delta x \to 0$

$$\lim_{\Delta x \to 0} (4x + 2\Delta x) = 4x + 0 = 4 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $y’ = 0$

в)

$$y = \begin{cases} -4x + 2, & \text{если } x \geq 3 \\ 2x — 4, & \text{если } x < 3 \end{cases}, \quad x_0 = 3;$$

1. Таблица значений

• $x = 2$: $x < 3$, используем вторую ветку:
  $y = 2x — 4 = 2 \cdot 2 — 4 = 0$
• $x = 3$, $x \geq 3$:
  $y = -4x + 2 = -4 \cdot 3 + 2 = -12 + 2 = -10$
• $x = 3$, $x < 3$:
  $y = 2x — 4 = 2 \cdot 3 — 4 = 6 — 4 = 2$
• $x = 4$:
  $y = -4x + 2 = -4 \cdot 4 + 2 = -16 + 2 = -14$

Таблица:

$$\begin{array}{c|c c c c} x & 2 & 3 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 2 & -10 & -14 \\ \end{array}$$

2. Анализ точки

Проверим предел функции:

• Слева от 3:
  $\lim_{x \to 3^-} y = 2x — 4 = 6 — 4 = 2$
• Справа от 3:
  $\lim_{x \to 3^+} y = -4x + 2 = -12 + 2 = -10$

Точка разрыва → производная не существует.

Ответ: не существует.

г)

$$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \leq 1 \\ 2x — 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}, \quad x_0 = 1;$$

1. Таблица значений

• $x = -3$:
  $y = (-3)^2 = 9$
• $x = -2$:
  $y = 4$
• $x = -1$:
  $y = 1$
• $x = 0$:
  $y = 0$
• $x = 1$, $x \leq 1$:
  $y = 1^2 = 1$
• $x = 1$, $x > 1$:
  $y = 2 \cdot 1 — 1 = 1$
• $x = 2$:
  $y = 2 \cdot 2 — 1 = 4 — 1 = 3$

Таблица:

$$\begin{array}{c|c c c c c c c} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array}$$

2. Принадлежность точки

$x = 1 \in (-\infty, 1] \Rightarrow$ точка принадлежит ветке $y = x^2$

3. Производная по определению

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

Для $f(x) = x^2$:

$$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Подставим:

$$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} = \frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x$$

4. Предел при $\Delta x \to 0$

$$\lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x + 0$$

Подставим $x = 1$:

$$2 \cdot 1 = 2$$

Ответ: $y’ = 2$