ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке $x_0$ или докажите, что она не существует:

а) $y = |x + 4|, \quad x_0 = -4$;

б) $y = -3x|x|, \quad x_0 = 0$;

в) $y = 2x|x|, \quad x_0 = 0$;

г) $y = (x — 1)|x — 1|, \quad x_0 = 1$.

а) $y = |x + 4|, \quad x_0 = -4$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} -x — 4, & \text{если } x < -4; \\ x + 4, & \text{если } x \geq -4; \end{cases}$$

График функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 \\ \hline y & 2 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Точка $x_0 = -4$ является точкой излома функции, следовательно производной при данном значении аргумента не существует;

Ответ: не существует.

б) $y = -3x|x|, \quad x_0 = 0$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} 3x^2, & \text{если } x < 0; \\ -3x^2, & \text{если } x \geq 0; \end{cases}$$

График функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 3 & 0 & -3 \\ \hline \end{array}$$

Искомая точка принадлежит функции $y = -3x^2$;

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) — f(x_0)}{\Delta x} = \frac{-3(0 + \Delta x)^2 + 3 \cdot 0^2}{\Delta x} = \frac{-3(\Delta x)^2}{\Delta x} = -3\Delta x;$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-3\Delta x) = -3 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y’ = 0$.

в) $y = 2x|x|, \quad x_0 = 0$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} -2x^2, & \text{если } x < 0; \\ 2x^2, & \text{если } x \geq 0; \end{cases}$$

График функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -2 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Искомая точка принадлежит функции $y = 2x^2$;

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) — f(x_0)}{\Delta x} = \frac{2(0 + \Delta x)^2 + 2 \cdot 0^2}{\Delta x} = \frac{2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2\Delta x;$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 2\Delta x = 2 \cdot 0 = 0;$$

Ответ: $y’ = 0$.

г) $y = (x — 1)|x — 1|, \quad x_0 = 1$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} -(x — 1)^2, & \text{если } x < 1; \\ (x — 1)^2, & \text{если } x \geq 1; \end{cases}$$

График функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Искомая точка принадлежит функции $y = (x — 1)^2$;

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) — f(x_0)}{\Delta x} = \frac{(1 — 1 + \Delta x)^2 — (1 — 1)^2}{\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = \Delta x;$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x = 0;$$

Ответ: $y’ = 0$.

Для решения задачи будем использовать определение:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) — f(x_0)}{\Delta x}$$

а) $y = |x + 4|, \quad x_0 = -4$

1. Раскрытие модуля

Модуль $|x + 4|$ раскрывается по определению:

$$|x + 4| = \begin{cases} -(x + 4), & \text{если } x < -4; \\ x + 4, & \text{если } x \geq -4. \end{cases}$$

То есть:

$$y = \begin{cases} -x — 4, & x < -4; \\ x + 4, & x \geq -4. \end{cases}$$

2. Поведение слева и справа от точки $x_0 = -4$

• Слева от точки (при $x < -4$): $y = -x — 4$, производная будет $y’ = -1$
• Справа от точки (при $x > -4$): $y = x + 4$, производная будет $y’ = 1$

3. Проверим производную по определению с обеих сторон

Слева:

$$f’_{-}(-4) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(-4 + \Delta x) — f(-4)}{\Delta x}$$

При $\Delta x < 0$, $-4 + \Delta x < -4$, значит:

$$f(-4 + \Delta x) = -(-4 + \Delta x) — 4 = 4 — \Delta x — 4 = -\Delta x$$ $$f(-4) = |-4 + 4| = |0| = 0$$ $$\frac{f(-4 + \Delta x) — f(-4)}{\Delta x} = \frac{-\Delta x — 0}{\Delta x} = -1$$

Справа:

$$f’_{+}(-4) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(-4 + \Delta x) — f(-4)}{\Delta x}$$

При $\Delta x > 0$, $-4 + \Delta x > -4$, значит:

$$f(-4 + \Delta x) = (-4 + \Delta x) + 4 = \Delta x$$ $$\frac{f(-4 + \Delta x) — f(-4)}{\Delta x} = \frac{\Delta x — 0}{\Delta x} = 1$$

4. Сравнение односторонних производных:

$$f’_{-}(-4) = -1, \quad f’_{+}(-4) = 1 \Rightarrow \text{не совпадают}$$

5. Вывод:

Предел слева и справа не равны → производная не существует.

Ответ: не существует.

б) $y = -3x|x|, \quad x_0 = 0$

1. Раскроем модуль $|x|$:

$$|x| = \begin{cases} -x, & x < 0; \\ x, & x \geq 0. \end{cases} \Rightarrow y = \begin{cases} -3x \cdot (-x) = 3x^2, & x < 0; \\ -3x \cdot x = -3x^2, & x \geq 0. \end{cases}$$

2. Найдём значение функции в точке:

$$y(0) = -3 \cdot 0 \cdot |0| = 0$$

3. Вычислим по определению:

$$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) — f(0)}{\Delta x}$$

При $\Delta x > 0$:

$$f(0 + \Delta x) = -3(\Delta x)^2 \Rightarrow \frac{-3(\Delta x)^2 — 0}{\Delta x} = -3\Delta x \to 0$$

При $\Delta x < 0$:

$$f(0 + \Delta x) = 3(\Delta x)^2 \Rightarrow \frac{3(\Delta x)^2 — 0}{\Delta x} = 3\Delta x \to 0$$

4. Предел с обеих сторон:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 0$$

Ответ: $y’ = 0$

в) $y = 2x|x|, \quad x_0 = 0$

1. Раскроем модуль:

$$y = \begin{cases} 2x \cdot (-x) = -2x^2, & x < 0; \\ 2x \cdot x = 2x^2, & x \geq 0; \end{cases}$$

2. Найдём значение функции в точке:

$$f(0) = 0$$

3. Определение производной:

$$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) — f(0)}{\Delta x}$$

$\Delta x > 0$:

$$f(\Delta x) = 2(\Delta x)^2 \Rightarrow \frac{2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2\Delta x \to 0$$

$\Delta x < 0$:

$$f(\Delta x) = -2(\Delta x)^2 \Rightarrow \frac{-2(\Delta x)^2}{\Delta x} = -2\Delta x \to 0$$

4. Предел с обеих сторон:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 0$$

Ответ: $y’ = 0$

г) $y = (x — 1)|x — 1|, \quad x_0 = 1$

1. Раскроем модуль:

$$\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}-(x-1),& x<1;\\ x-1,& x\ge 1;\end{array}\Rightarrow$$

$$|x — 1| = \begin{cases} -(x — 1), & x < 1; \\ x — 1, & x \geq 1; \end{cases} \Rightarrow y = \begin{cases} (x — 1)(-(x — 1)) = -(x — 1)^2, & x < 1; \\ (x — 1)^2, & x \geq 1. \end{cases}$$

2. Значение функции в точке:

$$f(1) = (1 — 1)|1 — 1| = 0$$

3. Производная по определению:

$$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) — f(1)}{\Delta x}$$

$\Delta x > 0$:

$$f(1 + \Delta x) = (1 + \Delta x — 1)^2 = (\Delta x)^2 \Rightarrow \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = \Delta x \to 0$$

$\Delta x < 0$:

$$f(1 + \Delta x) = -(\Delta x)^2 \Rightarrow \frac{- (\Delta x)^2}{\Delta x} = -\Delta x \to 0$$

4. Одинаковые пределы с обеих сторон:

$$f'(1) = 0$$

Ответ: $y’ = 0$