ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y=7x+4$;

б) $y=x^2$;

в) $y=-6x+1$;

г) $y=\frac{1}{x}$

а) $y=7x+4$;
$y^{\mathrm{\prime }}=(7x+4{)}^{\mathrm{\prime }}=7$;

б) $y=x^2$;
$y^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2x$;

в) $y=-6x+1$;
$y^{\mathrm{\prime }}=(-6x+1{)}^{\mathrm{\prime }}=-6$;

г) $y=\frac{1}{x}$;
$y^{\mathrm{\prime }}={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{x^2}$

а) $y=7x+4$

Шаг 1. Записана функция:
$y=7x+4$

Шаг 2. Найдём производную по $x$:
Производная суммы равна сумме производных:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(7x+4)=\frac{d}{dx}(7x)+\frac{d}{dx}(4)$$

Шаг 3. Используем таблицу производных:

• Производная от $ax$, где $a$ — число: $\frac{d}{dx}(ax)=a$
• Производная от постоянного числа: $\frac{d}{dx}(c)=0$

Шаг 4. Применим:

$$y^{\mathrm{\prime }}=7+0=7$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}=7$$

б) $y=x^2$

Шаг 1. Записана функция:
$y=x^2$

Шаг 2. Найдём производную по $x$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(x^2)$$

Шаг 3. Используем формулу:
Производная от $x^n$, где $n$ — число:

$$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$$

Шаг 4. Подставим $n=2$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=2x^{2-1}=2x$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}=2x$$

в) $y=-6x+1$

Шаг 1. Записана функция:
$y=-6x+1$

Шаг 2. Найдём производную по $x$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{d}{dx}(-6x+1)=\frac{d}{dx}(-6x)+\frac{d}{dx}(1)$$

Шаг 3. Используем правила:

• $\frac{d}{dx}(-6x)=-6$
• $\frac{d}{dx}(1)=0$

Шаг 4. Получаем:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-6+0=-6$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-6$$

г) $y=\frac{1}{x}$

Шаг 1. Записана функция:
$y=\frac{1}{x}$

Шаг 2. Перепишем дробь как степень:

$$y=x^{-1}$$

Шаг 3. Найдём производную по правилу степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$$

Шаг 4. Подставим $n=-1$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=(-1)x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{x^2}$$