ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \sqrt{x}(2x — 4)$;

б) $y = (x^3 + 1) \cdot \sqrt{x}$;

в) $y = \sqrt{x}(8x — 10)$;

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$

а) $y = \sqrt{x}(2x — 4)$;
$y’ = (\sqrt{x})'(2x — 4) + \sqrt{x}(2x — 4)’$;
$y’ = \frac{2x — 4}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x} = \frac{x — 2}{\sqrt{x}} + \frac{2x}{\sqrt{x}} = \frac{3x — 2}{\sqrt{x}}$;

б) $y = (x^3 + 1) \cdot \sqrt{x}$;
$y’ = (x^3 + 1)’ \sqrt{x} + (x^3 + 1)(\sqrt{x})’$;
$y’ = 3x^2 \sqrt{x} + \frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x^3}{2\sqrt{x}} + \frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$;

в) $y = \sqrt{x}(8x — 10)$;
$y’ = (\sqrt{x})'(8x — 10) + \sqrt{x}(8x — 10)’$;
$y’ = \frac{8x — 10}{2\sqrt{x}} + 8\sqrt{x} = \frac{4x — 5}{\sqrt{x}} + \frac{8x}{\sqrt{x}} = \frac{12x — 5}{\sqrt{x}}$;

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$;
$y’ = (\sqrt{x})'(x^4 + 2) + \sqrt{x}(x^4 + 2)’$;
$y’ = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + 4x^3 \sqrt{x} = \frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}} + \frac{8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$

Используем правило производной произведения:

Если $y = u(x) \cdot v(x)$, то

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Также:

• $\sqrt{x} = x^{1/2} \Rightarrow \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

а) $y = \sqrt{x}(2x — 4)$

Шаг 1. Обозначим:

• $u = \sqrt{x} \Rightarrow u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v = 2x — 4 \Rightarrow v’ = 2$

Шаг 2. Применим правило:

$$y’ = u’v + uv’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}(2x — 4) + \sqrt{x} \cdot 2$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

• $\frac{2x — 4}{2\sqrt{x}} = \frac{x — 2}{\sqrt{x}}$
• $2\sqrt{x} = \frac{2x}{\sqrt{x}}$

Шаг 4. Складываем:

$$y’ = \frac{x — 2}{\sqrt{x}} + \frac{2x}{\sqrt{x}} = \frac{3x — 2}{\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{3x — 2}{\sqrt{x}}$$

б) $y = (x^3 + 1) \cdot \sqrt{x}$

Шаг 1. Обозначим:

• $u = x^3 + 1 \Rightarrow u’ = 3x^2$
• $v = \sqrt{x} \Rightarrow v’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Шаг 2. Применим правило:

$$y’ = u’v + uv’ = 3x^2 \cdot \sqrt{x} + (x^3 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 3. Первое слагаемое:

$$3x^2 \cdot \sqrt{x} = 3x^2 \cdot x^{1/2} = 3x^{5/2} = \frac{6x^3}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Второе слагаемое:

$$\frac{x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 5. Приведём к общему знаменателю:

$$y’ = \frac{6x^3 + x^3 + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{7x^3 + 1}{2\sqrt{x}}$$

в) $y = \sqrt{x}(8x — 10)$

Шаг 1. Обозначим:

• $u = \sqrt{x} \Rightarrow u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v = 8x — 10 \Rightarrow v’ = 8$

Шаг 2. Применим:

$$y’ = u’v + uv’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}(8x — 10) + \sqrt{x} \cdot 8$$

Шаг 3. Первое слагаемое:

$$\frac{8x — 10}{2\sqrt{x}} = \frac{4x — 5}{\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Второе слагаемое:

$$8\sqrt{x} = \frac{8x}{\sqrt{x}}$$

Шаг 5. Складываем:

$$y’ = \frac{4x — 5}{\sqrt{x}} + \frac{8x}{\sqrt{x}} = \frac{12x — 5}{\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{12x — 5}{\sqrt{x}}$$

г) $y = \sqrt{x}(x^4 + 2)$

Шаг 1. Обозначим:

• $u = \sqrt{x} \Rightarrow u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v = x^4 + 2 \Rightarrow v’ = 4x^3$

Шаг 2. Применим:

$$y’ = u’v + uv’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}(x^4 + 2) + \sqrt{x} \cdot 4x^3$$

Шаг 3. Первое слагаемое:

$$\frac{x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Второе слагаемое:

$$4x^3 \cdot \sqrt{x} = 4x^3 \cdot x^{1/2} = 4x^{7/2} = \frac{8x^4}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 5. Складываем:

$$y’ = \frac{x^4 + 2 + 8x^4}{2\sqrt{x}} = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{9x^4 + 2}{2\sqrt{x}}$$