ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = x^3 \cdot \operatorname{tg} x$;

б) $y = \cos x \cdot \operatorname{ctg} x$;

в) $y = \frac{1}{x} \cdot \operatorname{ctg} x$;

г) $y = \sin x \cdot \operatorname{tg} x$

а) $y = x^3 \cdot \operatorname{tg} x$;

$y’ = (x^3)’ \cdot \operatorname{tg} x + x^3 \cdot (\operatorname{tg} x)’ = 3x^2 \cdot \operatorname{tg} x + \frac{x^3}{\cos^2 x};$

б) $y = \cos x \cdot \operatorname{ctg} x$;

$y’ = (\cos x)’ \cdot \operatorname{ctg} x + \cos x \cdot (\operatorname{ctg} x)’ = -\sin x \cdot \operatorname{ctg} x — \frac{\cos x}{\sin^2 x};$

в) $y = \frac{1}{x} \cdot \operatorname{ctg} x$;

$y’ = \left( \frac{1}{x} \right)’ \cdot \operatorname{ctg} x + \frac{1}{x} \cdot (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{\operatorname{ctg} x}{x^2} — \frac{1}{x \cdot \sin^2 x};$

г) $y = \sin x \cdot \operatorname{tg} x$;

$y’ = (\sin x)’ \cdot \operatorname{tg} x + \sin x \cdot (\operatorname{tg} x)’ = \cos x \cdot \operatorname{tg} x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

а) $y = x^3 \cdot \operatorname{tg} x$

Это произведение двух функций:

• $u(x) = x^3$
• $v(x) = \operatorname{tg} x$

Шаг 1: Правило производной произведения

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 2: Найдём производные

• $u'(x) = (x^3)’ = 3x^2$
• $v'(x) = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

Шаг 3: Подставим

$$y’ = 3x^2 \cdot \operatorname{tg} x + x^3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = 3x^2 \cdot \operatorname{tg} x + \frac{x^3}{\cos^2 x}$$

б) $y = \cos x \cdot \operatorname{ctg} x$

Это произведение:

• $u(x) = \cos x$
• $v(x) = \operatorname{ctg} x$

Шаг 1: Применим правило произведения

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 2: Найдём производные

• $u'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$
• $v'(x) = (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Шаг 3: Подставим

$$y’ = (-\sin x) \cdot \operatorname{ctg} x + \cos x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x} \right)$$ $$y’ = -\sin x \cdot \operatorname{ctg} x — \frac{\cos x}{\sin^2 x}$$

в) $y = \frac{1}{x} \cdot \operatorname{ctg} x$

Произведение:

• $u(x) = \frac{1}{x}$
• $v(x) = \operatorname{ctg} x$

Шаг 1: Применим правило произведения

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 2: Найдём производные

• $u'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$
• $v'(x) = (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Шаг 3: Подставим

$$y’ = -\frac{1}{x^2} \cdot \operatorname{ctg} x + \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x} \right)$$ $$y’ = -\frac{\operatorname{ctg} x}{x^2} — \frac{1}{x \cdot \sin^2 x}$$

г) $y = \sin x \cdot \operatorname{tg} x$

Произведение:

• $u(x) = \sin x$
• $v(x) = \operatorname{tg} x$

Шаг 1: Применим правило произведения

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 2: Найдём производные

• $u'(x) = (\sin x)’ = \cos x$
• $v'(x) = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

Шаг 3: Подставим

$$y’ = \cos x \cdot \operatorname{tg} x + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = \cos x \cdot \operatorname{tg} x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$