ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$

б) $y=2\cdot \sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}$

в) $y={\cos }^{2}3x+{\sin }^{2}3x$

г) $y=\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}$

а) $y = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = \cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \cos x$;
$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$;

б) $y = 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \sin x$;
$y’ = (\sin x)’ = \cos x$;

в) $y = \cos^2 3x + \sin^2 3x = 1$;
$y’ = (1)’ = 0$;

г) $y = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin x$;
$y’ = \frac{1}{2} \cdot (\sin x)’ = \frac{1}{2} \cdot \cos x$

а)

Найти производную функции:

$$y = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}$$

Шаг 1. Узнаем тригонометрическую формулу:
Это выражение — разность квадратов синуса и косинуса, которая соответствует формуле:

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos(2A)$$

Здесь $A = \frac{x}{2}$, значит:

$$y = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Ответ:

$$y = \cos x,\quad y’ = -\sin x$$

б)

Найти производную функции:

$$y = 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 1. Узнаем тригонометрическую формулу:
Это произведение синуса и косинуса — формула двойного угла:

$$2 \cdot \sin A \cdot \cos A = \sin(2A)$$

Здесь $A = \frac{x}{2}$, значит:

$$y = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Ответ:

$$y = \sin x,\quad y’ = \cos x$$

в)

Найти производную функции:

$$y = \cos^2 3x + \sin^2 3x$$

Шаг 1. Узнаем тригонометрическую тождественность:
Для любого угла $\theta$:

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

В нашем случае $\theta = 3x$, значит:

$$y = 1$$

Шаг 2. Найдём производную константы:

$$y’ = \frac{d}{dx}(1) = 0$$

Ответ:

$$y = 1,\quad y’ = 0$$

г)

Найти производную функции:

$$y = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 1. Используем формулу двойного угла в обратную сторону:
Как и в пункте б, формула:

$$2 \cdot \sin A \cdot \cos A = \sin(2A) \quad \Rightarrow \quad \sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A)$$

В нашем случае $A = \frac{x}{2}$, значит:

$$y = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(x) = \frac{1}{2} \sin x$$

Или более точно:

$$y = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \sin x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \cdot \sin x \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{1}{2} \cdot \cos x$$

Ответ:

$$y = \frac{1}{2} \sin x,\quad y’ = \frac{1}{2} \cos x$$