ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{2}$;

б) $y = \cos x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

в) $y = \cos x$ и $x_0 = -3\pi$;

г) $y = \sin x$ и $x_0 = 0$

а) $y = \sin x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{2}$;
$y’ = (\sin x)’ = \cos x$;
$y'(x_0) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$;

б) $y = \cos x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;
$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$;
$y'(x_0) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$;

в) $y = \cos x$ и $x_0 = -3\pi$;
$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$;
$y'(x_0) = -\sin(-3\pi) = 0$;

г) $y = \sin x$ и $x_0 = 0$;
$y’ = (\sin x)’ = \cos x$;
$y'(x_0) = \cos 0 = 1$

а) $y = \sin x$, $x_0 = -\dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \sin x$$

Шаг 2. Найдём производную.
Правило:

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 3. Получаем:

$$y’ = \cos x$$

Шаг 4. Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$$y’\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 5. Используем чётность косинуса:

$$\cos(-x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 6. Из таблицы значений:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

Ответ:

$$y’\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$$

б) $y = \cos x$, $x_0 = \dfrac{\pi}{6}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \cos x$$

Шаг 2. Найдём производную.
Правило:

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 3. Получаем:

$$y’ = -\sin x$$

Шаг 4. Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$$y’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 5. Из таблицы значений:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 6. Подставим:

$$y’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$y’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$

в) $y = \cos x$, $x_0 = -3\pi$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \cos x$$

Шаг 2. Производная:

$$y’ = -\sin x$$

Шаг 3. Подставим значение $x_0 = -3\pi$:

$$y'(-3\pi) = -\sin(-3\pi)$$

Шаг 4. Используем нечетность синуса:

$$\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \sin(-3\pi) = -\sin(3\pi)$$

Шаг 5. Подставим:

$$y'(-3\pi) = -(-\sin(3\pi)) = \sin(3\pi)$$

Шаг 6. Так как $\sin(n\pi) = 0$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$$\sin(3\pi) = 0$$

Ответ:

$$y'(-3\pi) = 0$$

г) $y = \sin x$, $x_0 = 0$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \sin x$$

Шаг 2. Производная:

$$y’ = \cos x$$

Шаг 3. Подставим значение $x_0 = 0$:

$$y'(0) = \cos(0)$$

Шаг 4. Из таблицы значений:

$$\cos(0) = 1$$

Ответ:

$$y'(0) = 1$$

Итоговые ответы:

а) $0$
б) $-\dfrac{1}{2}$
в) $0$
г) $1$