ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 6x — 9$ и $x_0 = 3$;
$y’ = (6x — 9)’ = 6$;
$y'(x_0) = 6$;

б) $y = x^3 — 3x + 2$ и $x_0 = -1$;
$y’ = (x^3)’ — (3x + 2)’ = 3x^2 — 3$;
$y'(x_0) = 3(-1)^2 — 3 = 3 — 3 = 0$;

в) $y = 5x — 8$ и $x_0 = 2$;
$y’ = (5x — 8)’ = 5$;
$y'(x_0) = 5$;

г) $y = x^2 + 3x — 4$ и $x_0 = 1$;
$y’ = (x^2)’ + (3x — 4)’ = 2x + 3$;
$y'(x_0) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$

а) $y = 6x — 9$, $x_0 = 3$

Шаг 1. Дана линейная функция:

$$y = 6x — 9$$

Шаг 2. Вспомним: производная от $ax$ равна $a$, производная от константы равна 0.

$$\frac{d}{dx}(6x) = 6,\quad \frac{d}{dx}(-9) = 0$$

Шаг 3. Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(6x — 9) = 6$$

Шаг 4. Подставим значение $x_0 = 3$:

$$y'(3) = 6$$

Ответ:

$$y'(3) = 6$$

б) $y = x^3 — 3x + 2$, $x_0 = -1$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = x^3 — 3x + 2$$

Шаг 2. Используем правило:

• $(x^n)’ = n x^{n — 1}$;
• $(ax)’ = a$;
• Константа исчезает при дифференцировании.

Шаг 3. Найдём производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) = 3x^2 — 3 + 0 = 3x^2 — 3$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = -1$:

$$y'(-1) = 3(-1)^2 — 3 = 3 \cdot 1 — 3 = 3 — 3 = 0$$

Ответ:

$$y'(-1) = 0$$

в) $y = 5x — 8$, $x_0 = 2$

Шаг 1. Линейная функция:

$$y = 5x — 8$$

Шаг 2. Производная от $5x$ — это 5, от $-8$ — это 0.

$$y’ = \frac{d}{dx}(5x — 8) = 5$$

Шаг 3. Подставим значение $x_0 = 2$:

$$y'(2) = 5$$

Ответ:

$$y'(2) = 5$$

г) $y = x^2 + 3x — 4$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = x^2 + 3x — 4$$

Шаг 2. Найдём производную каждого слагаемого:

• $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$;
• $\frac{d}{dx}(3x) = 3$;
• $\frac{d}{dx}(-4) = 0$

Шаг 3. Итоговая производная:

$$y’ = 2x + 3$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = 1$:

$$y'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$$

Ответ:

$$y'(1) = 5$$

Итоговые ответы:

а) $6$
б) $0$
в) $5$
г) $5$