ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 2 \sin x — 13 \cos x$ и $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

$y’ = 2 (\sin x)’ — 13 (\cos x)’ = 2 \cos x + 13 \sin x$;

$y'(x_0) = 2 \cos \frac{\pi}{2} + 13 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 + 13 \cdot 1 = 13$;

б) $y = -\cos x + \frac{1}{\pi} x^2$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

$y’ = -(\cos x)’ + \frac{1}{\pi} (x^2)’ = \sin x + \frac{1}{\pi} \cdot 2x$;

$y'(x_0) = \sin \frac{\pi}{6} + \frac{1}{\pi} \cdot 2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$;

в) $y = -\sin x — 3$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

$y’ = -(\sin x)’ — (3)’ = -\cos x — 0 = -\cos x$;

$y'(x_0) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$;

г) $y = 4 \cos x + x \sqrt{2}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

$y’ = 4 (\cos x)’ + \sqrt{2} (x)’ = -4 \sin x + \sqrt{2}$;

$y'(x_0) = -4 \sin \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = -\sqrt{2}$

а) $y = 2 \sin x — 13 \cos x$, $x_0 = \dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = 2 \sin x — 13 \cos x$$

Шаг 2. Вспомним стандартные производные:

$$(\sin x)’ = \cos x,\quad (\cos x)’ = -\sin x$$

Шаг 3. Применим производные с учётом коэффициентов:

$$y’ = 2 (\sin x)’ — 13 (\cos x)’ = 2 \cos x + 13 \sin x$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = \dfrac{\pi}{2}$:

$$y’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2 \cos \dfrac{\pi}{2} + 13 \sin \dfrac{\pi}{2}$$

Шаг 5. Вспомним значения тригонометрических функций:

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0,\quad \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$$

Шаг 6. Подставим:

$$y’\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 + 13 \cdot 1 = 13$$

б) $y = -\cos x + \dfrac{1}{\pi} x^2$, $x_0 = \dfrac{\pi}{6}$

Шаг 1. Запишем функцию:

$$y = -\cos x + \dfrac{1}{\pi} x^2$$

Шаг 2. Используем производные:

$$(\cos x)’ = -\sin x,\quad (x^2)’ = 2x$$

Шаг 3. Применим производные с учётом коэффициентов:

$$y’ = -(\cos x)’ + \dfrac{1}{\pi} \cdot (x^2)’ = \sin x + \dfrac{2x}{\pi}$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = \dfrac{\pi}{6}$:

$$y’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{2 \cdot \dfrac{\pi}{6}}{\pi}$$

Шаг 5. Значения:

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2},\quad \dfrac{2 \cdot \dfrac{\pi}{6}}{\pi} = \dfrac{2\pi}{6\pi} = \dfrac{1}{3}$$

Шаг 6. Складываем:

$$y’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 + 2}{6} = \dfrac{5}{6}$$

в) $y = -\sin x — 3$, $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1. Функция:

$$y = -\sin x — 3$$

Шаг 2. Производные:

$$(\sin x)’ = \cos x,\quad \text{константа } -3 \text{ даёт 0}$$

Шаг 3. Применяем:

$$y’ = -(\sin x)’ — 0 = -\cos x$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$:

$$y’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 5. Значение функции:

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$$

Шаг 6. Ответ:

$$y’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$$

г) $y = 4 \cos x + x\sqrt{2}$, $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1. Функция:

$$y = 4 \cos x + x\sqrt{2}$$

Шаг 2. Производные:

$$(\cos x)’ = -\sin x,\quad (x)’ = 1$$

Шаг 3. Учитываем коэффициенты:

$$y’ = 4 \cdot (-\sin x) + \sqrt{2} \cdot 1 = -4 \sin x + \sqrt{2}$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$:

$$y’\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -4 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}$$

Шаг 5. Значение синуса:

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6. Вычисляем:

$$-4 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = -2\sqrt{2} + \sqrt{2} = -\sqrt{2}$$

Итоговые ответы:

а) $13$
б) $\dfrac{5}{6}$
в) $-\dfrac{1}{2}$
г) $-\sqrt{2}$