ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \sin x$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \cos x$;

г) $y = x^{10}$

а) $y = \sin x$;
$y’ = (\sin x)’ = \cos x$;

б) $y = \sqrt{x}$;
$y’ = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

в) $y = \cos x$;
$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$;

г) $y = x^{10}$;
$y’ = 10x^{10-1} = 10x^9$

а) $y = \sin x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \sin x$$

Шаг 2. Требуется найти производную функции $y$ по переменной $x$.

Шаг 3. Воспользуемся таблицей производных:
Производная синуса:

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 4. Применим:

$$y’ = (\sin x)’ = \cos x$$

Ответ:

$$y’ = \cos x$$

б) $y = \sqrt{x}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \sqrt{x}$$

Шаг 2. Перепишем функцию в виде степени:

$$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

Шаг 3. Используем формулу производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Шаг 4. Подставим $n = \frac{1}{2}$:

$$y’ = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} — 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$$

Шаг 5. Переведём обратно в корень:

$$x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Шаг 6. Получаем:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

в) $y = \cos x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \cos x$$

Шаг 2. Требуется найти производную по $x$.

Шаг 3. Вспоминаем таблицу производных:

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 4. Применим:

$$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$$

Ответ:

$$y’ = -\sin x$$

г) $y = x^{10}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = x^{10}$$

Шаг 2. Используем формулу производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Шаг 3. Подставим $n = 10$:

$$y’ = 10x^{10 — 1}$$

Шаг 4. Упростим степень:

$$y’ = 10x^9$$

Ответ:

$$y’ = 10x^9$$