ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента:

a) у = 3х + 12;

б) у = 2х³ + 15х;

в) у = -2sinх + 4х;

г) у = 3x — 1,5cosх.

а) $y = 3x + 12$;
$y’ = (3x + 12)’ = 3$;
$3 > 0$, значит $y’ > 0$ при любых значениях $x$;

б) $y = 2x^3 + 15x$;
$y’ = 2(x^3)’ + (15x)’ = 2 \cdot 3x^2 + 15 = 6x^2 + 15$;
$6x^2 \geq 0$ и $15 > 0$, значит $y’ > 0$ при любых значениях $x$;

в) $y = -2 \sin x + 4x$;
$y’ = -2(\sin x)’ + (4x)’ = -2 \cos x + 4$;
$-1 \leq \cos x \leq 1$, тогда $-2 \leq -2 \cos x \leq 2$;
$4 > -2$, значит $y’ > 0$ при любых значениях $x$;

г) $y = 3x — 1.5 \cos x$;
$y’ = (3x)’ — 1.5(\cos x)’ = 3 + 1.5 \sin x$;
$-1 \leq \sin x \leq 1$, тогда $-1.5 \leq 1.5 \sin x \leq 1.5$;
$3 > -1.5$, значит $y’ > 0$ при любых значениях $x$

а) $y = 3x + 12$

Шаг 1. Найдём производную функции.

Функция $y = 3x + 12$ — это линейная функция. Производная суммы равна сумме производных:

$$y’ = (3x)’ + (12)’$$

Шаг 2. Найдём производные каждого слагаемого.

• Производная $(3x)’ = 3$, так как производная от $x$ равна 1, и константу 3 выносим.
• Производная $(12)’ = 0$, так как производная от константы равна 0.

Шаг 3. Складываем производные:

$$y’ = 3 + 0 = 3$$

Шаг 4. Анализируем знак производной.

Число 3 — положительное:

$$3 > 0$$

Вывод:
Так как производная положительна для всех $x$, функция возрастает на всей области определения:

$$\boxed{y’ > 0 \text{ при всех } x}$$

б) $y = 2x^3 + 15x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y’ = (2x^3)’ + (15x)’$$

Шаг 2. Найдём каждую производную.

• Производная $(2x^3)’ = 2 \cdot (x^3)’ = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$
• Производная $(15x)’ = 15$, так как производная от $x$ равна 1

Шаг 3. Складываем:

$$y’ = 6x^2 + 15$$

Шаг 4. Анализируем знак выражения $6x^2 + 15$.

• $x^2 \geq 0$ при любом $x$, следовательно, $6x^2 \geq 0$
• Тогда $6x^2 + 15 \geq 15$, так как прибавляем положительное число к нулю или больше

А значит:

$$6x^2 + 15 > 0 \text{ при всех } x$$

Вывод:

$$\boxed{y’ > 0 \text{ при всех } x}$$

в) $y = -2\sin x + 4x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y’ = (-2\sin x)’ + (4x)’$$

Шаг 2. Производные каждого слагаемого:

• $(-2\sin x)’ = -2 \cdot (\sin x)’ = -2 \cdot \cos x = -2\cos x$
• $(4x)’ = 4$, так как производная от $x$ равна 1

Шаг 3. Складываем:

$$y’ = -2\cos x + 4$$

Шаг 4. Найдём диапазон значений выражения $-2\cos x$.

• Поскольку $-1 \leq \cos x \leq 1$, то умножим на -2 (при этом знак неравенства меняется):

$$-2 \cdot 1 = -2,\quad -2 \cdot (-1) = 2$$

Значит:

$$-2 \leq -2\cos x \leq 2$$

Шаг 5. Теперь сложим $-2\cos x + 4$.

Минимальное значение: $-2 + 4 = 2$
Максимальное значение: $2 + 4 = 6$

Значит:

$$2 \leq y’ \leq 6$$

То есть:

$$y’ > 0 \text{ при всех } x$$

Вывод:

$$\boxed{y’ > 0 \text{ при всех } x}$$

г) $y = 3x — 1.5\cos x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y’ = (3x)’ — 1.5(\cos x)’$$

Шаг 2. Производные слагаемых:

• $(3x)’ = 3$
• $(\cos x)’ = -\sin x$, значит:
  $-1.5(\cos x)’ = -1.5 \cdot (-\sin x) = 1.5\sin x$

Шаг 3. Складываем:

$$y’ = 3 + 1.5\sin x$$

Шаг 4. Определим диапазон значений $\sin x$.

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow -1.5 \leq 1.5\sin x \leq 1.5$$

Шаг 5. Складываем с 3:

Минимум: $3 + (-1.5) = 1.5$
Максимум: $3 + 1.5 = 4.5$

Значит:

$$1.5 \leq y’ \leq 4.5 \Rightarrow y’ > 0 \text{ при всех } x$$

Вывод:

$$\boxed{y’ > 0 \text{ при всех } x}$$