ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \operatorname{tg} x$;

б) $y = \operatorname{ctg} x$;

в) $y = \operatorname{tg} x + 4$;

г) $y = \operatorname{ctg} x + 8$

а) $y = \operatorname{tg} x$;
$y’ = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x};$

б) $y = \operatorname{ctg} x$;
$y’ = (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x};$

в) $y = \operatorname{tg} x + 4$;
$y’ = (\operatorname{tg} x)’ + (4)’ = \frac{1}{\cos^2 x} + 0 = \frac{1}{\cos^2 x};$

г) $y = \operatorname{ctg} x + 8$;
$y’ = (\operatorname{ctg} x)’ + (8)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} + 0 = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Напомним формулы производных:

• $\frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $\frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$
• $\frac{d}{dx}(c) = 0$, где $c$ — константа

а) $y = \operatorname{tg} x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \operatorname{tg} x$$

Шаг 2. Требуется найти производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x)$$

Шаг 3. По таблице производных:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$

б) $y = \operatorname{ctg} x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \operatorname{ctg} x$$

Шаг 2. Требуется найти производную:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x)$$

Шаг 3. По формуле:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

в) $y = \operatorname{tg} x + 4$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \operatorname{tg} x + 4$$

Шаг 2. Производная суммы равна сумме производных:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x) + \frac{d}{dx}(4)$$

Шаг 3. Производная тангенса:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 4. Производная константы:

$$\frac{d}{dx}(4) = 0$$

Шаг 5. Сложим:

$$y’ = \frac{1}{\cos^2 x} + 0 = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$

г) $y = \operatorname{ctg} x + 8$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \operatorname{ctg} x + 8$$

Шаг 2. Производная суммы:

$$y’ = \frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x) + \frac{d}{dx}(8)$$

Шаг 3. Производная котангенса:

$$\frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Шаг 4. Производная числа:

$$\frac{d}{dx}(8) = 0$$

Шаг 5. Сложим:

$$y’ = -\frac{1}{\sin^2 x} + 0 = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$$