ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = x^2 \sin x$ и $f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = ?$;

$f'(x) = (x^2)’ \sin x + x^2 (\sin x)’ = 2x \sin x + x^2 \cos x$;

$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi$;

б) $f(x) = x(1 + \cos x)$ и $f'(\pi) = ?$;

$f'(x) = (x)'(1 + \cos x) + x(1 + \cos x)’ = 1 + \cos x — x \sin x$;

$f'(\pi) = 1 + \cos \pi — \pi \sin \pi = 1 — 1 — \pi \cdot 0 = 1 — 1 = 0$;

в) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \frac{x^2}{\pi} + x \sin \frac{\pi}{6}$ и $f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = ?$;

$f'(x) = \sqrt{3} (\sin x)’ + \frac{1}{\pi} (x^2)’ + \frac{1}{2} (x)’ = \sqrt{3} \cos x + \frac{2x}{\pi} + \frac{1}{2}$;

$f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \frac{2 \pi}{6} : \pi + \frac{1}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{3}$;

г) $f(x) = \sqrt{3} \cos x — x \cos \frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$ и $f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = ?$;

$f'(x) = \sqrt{3} (\cos x)’ — \frac{\sqrt{3}}{2} (x)’ + \frac{1}{\pi} (x^2)’ = -\sqrt{3} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2x}{\pi}$;

$f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}\cdot \sin \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi }{3}:\pi =-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{3}=$

$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \cdot \sin \frac{\pi}{3} — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 \pi}{3} : \pi = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{-9 — 3\sqrt{3} + 4}{6} = \frac{-5 — 3\sqrt{3}}{6} = -\frac{5 + 3\sqrt{3}}{6}$

а) $f(x) = x^2 \sin x$, найти $f’\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Шаг 1: Найдём производную $f'(x)$

Функция состоит из произведения двух функций:

• $u(x) = x^2$
• $v(x) = \sin x$

По правилу производной произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Найдём каждую производную:

• $u'(x) = (x^2)’ = 2x$
• $v'(x) = (\sin x)’ = \cos x$

Теперь подставим:

$$f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{2}$

$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$$

Вспомним значения тригонометрических функций:

• $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
• $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

Тогда:

$$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi$$

Ответ: $\boxed{\pi}$

б) $f(x) = x(1 + \cos x)$, найти $f'(\pi)$

Шаг 1: Найдём производную $f'(x)$

Это снова произведение:

• $u(x) = x$
• $v(x) = 1 + \cos x$

Применим правило производной произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Найдём производные:

• $u'(x) = 1$
• $v'(x) = (1 + \cos x)’ = 0 + (-\sin x) = -\sin x$

Подставим:

$$f'(x) = 1 \cdot (1 + \cos x) + x \cdot (-\sin x) = 1 + \cos x — x \sin x$$

Шаг 2: Подставим $x = \pi$

Значения:

• $\cos \pi = -1$
• $\sin \pi = 0$

Подставим:

$$f'(\pi) = 1 + (-1) — \pi \cdot 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

в) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \dfrac{x^2}{\pi} + x \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$, найти $f’\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1: Найдём производную $f'(x)$

Разложим на слагаемые:

1. $\sqrt{3} \sin x$
2. $\dfrac{x^2}{\pi}$
3. $x \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Так как $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ — это число (константа), то его производная равна нулю, а $x \cdot \text{константа}$ имеет производную, равную этой константе.

По частям:

• $(\sqrt{3} \sin x)’ = \sqrt{3} \cos x$
• $\left(\dfrac{x^2}{\pi}\right)’ = \dfrac{2x}{\pi}$
• $(x \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right))’ = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

А $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$

Итак:

$$f'(x) = \sqrt{3} \cos x + \dfrac{2x}{\pi} + \dfrac{1}{2}$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{\pi}{6}$

Значения:

• $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим:

$$f’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2 \cdot \dfrac{\pi}{6}}{\pi} + \dfrac{1}{2}$$

Упрощаем:

• $\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{2}$
• $\dfrac{2 \cdot \dfrac{\pi}{6}}{\pi} = \dfrac{\pi/3}{\pi} = \dfrac{1}{3}$

Итого:

$$f’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}$$

Приведём к общему знаменателю:

• $\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$
• $2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6 + 1}{3} = \dfrac{7}{3} = 2 \dfrac{1}{3}$

Ответ: $\boxed{2 \dfrac{1}{3}}$

г) $f(x) = \sqrt{3} \cos x — x \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{x^2}{\pi}$, найти $f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Шаг 1: Найдём производную $f'(x)$

Сначала упростим:

• $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, тогда:

$$f(x) = \sqrt{3} \cos x — x \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{x^2}{\pi}$$

Теперь по частям:

• $(\sqrt{3} \cos x)’ = -\sqrt{3} \sin x$
• $(-x \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2})’ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $\left(\dfrac{x^2}{\pi}\right)’ = \dfrac{2x}{\pi}$

Соберём вместе:

$$f'(x) = -\sqrt{3} \sin x — \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2x}{\pi}$$

Шаг 2: Подставим $x = \dfrac{\pi}{3}$

Значения:

• $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим:

$$f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} — \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2 \cdot \dfrac{\pi}{3}}{\pi}$$

Вычислим:

• $-\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{3}{2}$
• $\dfrac{2 \cdot \dfrac{\pi}{3}}{\pi} = \dfrac{2}{3}$

Итак:

$$f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{3}{2} — \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{2}{3}$$

Приведём к общему знаменателю 6:

• $-\dfrac{3}{2} = -\dfrac{9}{6}$
• $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{6}$
• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$

Сложим:

$$f’\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{-9 — 3\sqrt{3} + 4}{6} = \dfrac{-5 — 3\sqrt{3}}{6}$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{5 + 3\sqrt{3}}{6}}$