ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) = \cos x$;

$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;

$-\sin x > 0 \quad | \cdot (-1)$;

$\sin x < 0$ в III и IV квадрантах, $T = 2\pi$:

$-\pi \leq x \leq 0$;

$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n$;

Ответ: $x \in (2\pi n — \pi; 2\pi n)$.

б) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2} = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} \cos x$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{2} \right)’ — \frac{1}{2} (\cos x)’ = 0 — \frac{1}{2} (-\sin x) = \frac{1}{2} \sin x$;

$\frac{1}{2} \sin x > 0 \quad | \cdot 2$;

$\sin x > 0$ в I и II квадрантах, $T = 2\pi$:

$0 < x < \pi$;

$2\pi n < x < \pi + 2\pi n$;

Ответ: $x \in (2\pi n; \pi + 2\pi n)$.

Решить неравенство $f'(x) > 0$

а) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2}$

Шаг 1. Упростим выражение

Используем формулу разности квадратов синуса и косинуса:

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos(2A)$$

В нашем случае:

$$f(x) = \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) — \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) = \cos(x)$$

(так как $2 \cdot \frac{x}{2} = x$)

Шаг 2. Найдём производную

$$f(x) = \cos x \Rightarrow f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$$

Шаг 3. Составим неравенство

$$f'(x) = -\sin x > 0$$

Домножим обе части на $-1$, при этом меняем знак неравенства:

$$\sin x < 0$$

Шаг 4. Определим, где $\sin x < 0$

Функция синуса отрицательна в:

• III квадранте: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$
• IV квадранте: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

То есть, в пределах одного периода $[0, 2\pi)$:

$$\sin x < 0 \text{ на } (\pi;\ 2\pi)$$

Теперь получим общий вид с учётом периодичности:

Период функции синуса: $T = 2\pi$

Добавим $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$$x \in (\pi + 2\pi n;\ 2\pi + 2\pi n) = (2\pi n + \pi;\ 2\pi n + 2\pi)$$

Перепишем это эквивалентно:

$$x \in (2\pi n — \pi;\ 2\pi n)$$

(здесь мы просто обозначили $n’ = n + 1$, это не меняет общий ответ)

Ответ (а):

$$\boxed{x \in (2\pi n — \pi;\ 2\pi n),\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2}$

Шаг 1. Упростим выражение

Используем тригонометрическую формулу:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2}$$

Значит:

$$f(x) = \frac{1 — \cos x}{2} = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} \cos x$$

Шаг 2. Найдём производную

Продифференцируем:

$$f'(x) = \left( \frac{1}{2} \right)’ — \frac{1}{2} \cdot (\cos x)’ = 0 — \frac{1}{2} \cdot (-\sin x)$$ $$f'(x) = \frac{1}{2} \sin x$$

Шаг 3. Составим неравенство

$$\frac{1}{2} \sin x > 0$$

Домножим обе части на 2:

$$\sin x > 0$$

Шаг 4. Определим, где $\sin x > 0$

Синус положителен:

• I квадрант: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
• II квадрант: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$

Итого: на $(0;\ \pi)$

С учётом периодичности $T = 2\pi$, получаем:

$$x \in (0 + 2\pi n;\ \pi + 2\pi n) = (2\pi n;\ \pi + 2\pi n)$$

Ответ (б):

$$\boxed{x \in (2\pi n;\ \pi + 2\pi n),\quad n \in \mathbb{Z}}$$