ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f'(x) = g'(x), если:

а) $f(x) = \frac{6}{5x-9}$ и $g(x) = \frac{3}{7-5x}$;

б) $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $g(x)=2x+15$

а) $f(x) = \frac{6}{5x-9}$ и $g(x) = \frac{3}{7-5x}$;

$f'(x) = \frac{(6)'(5x-9) — 6(5x-9)’}{(5x-9)^2} = \frac{0(5x-9) — 6 \cdot 5}{(5x-9)^2} = -\frac{30}{(5x-9)^2};$

$g'(x) = \frac{(3)'(7-5x) — 3(7-5x)’}{(7-5x)^2} = \frac{0(7-5x) — 3 \cdot (-5)}{(7-5x)^2} = \frac{15}{(7-5x)^2};$

$f'(x) = g'(x):$

$$-\frac{30}{(5x-9)^2} = \frac{15}{(7-5x)^2};$$

Решений нет, так как левая часть уравнения всегда отрицательна, а правая часть — всегда положительна;

Ответ: таких значений нет.

б) $f(x) = \operatorname{ctg} x$ и $g(x) = 2x + 15;$

$f'(x) = (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x};$

$g'(x) = (2x + 15)’ = 2;$

$-\frac{1}{\sin^2 x} = 2 \quad | \cdot \sin^2 x;$

$$-1 = 2 \sin^2 x;$$ $$\sin^2 x = -\frac{1}{2};$$ $$\sin x = \sqrt{-\frac{1}{2}};$$

Действительные решения отсутствуют;

Ответ: таких значений нет.

Найти такие значения $x$, при которых производные функций $f(x)$ и $g(x)$ равны.
То есть:

$$f'(x) = g'(x)$$

а) $f(x) = \dfrac{6}{5x — 9},\quad g(x) = \dfrac{3}{7 — 5x}$

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$

Это дробь, в числителе константа: $f(x) = \dfrac{u}{v}$, где:

• $u(x) = 6 \Rightarrow u'(x) = 0$
• $v(x) = 5x — 9 \Rightarrow v'(x) = 5$

Применим правило производной частного:

$$f'(x) = \frac{u’v — uv’}{v^2} \Rightarrow f'(x) = \frac{0 \cdot (5x — 9) — 6 \cdot 5}{(5x — 9)^2} = \frac{-30}{(5x — 9)^2}$$

Шаг 2: Найдём производную функции $g(x)$

$$g(x) = \frac{3}{7 — 5x} \Rightarrow u(x) = 3,\quad u’ = 0;\quad v(x) = 7 — 5x,\quad v’ = -5$$

По формуле:

$$g'(x) = \frac{0 \cdot (7 — 5x) — 3 \cdot (-5)}{(7 — 5x)^2} = \frac{15}{(7 — 5x)^2}$$

Шаг 3: Сравним производные

$$f'(x) = g'(x) \Rightarrow -\frac{30}{(5x — 9)^2} = \frac{15}{(7 — 5x)^2}$$

Шаг 4: Анализ знаков

• Левая часть: $-\frac{30}{(5x — 9)^2}$ — всегда отрицательна, потому что числитель $-30$, а знаменатель всегда положителен (квадрат)
• Правая часть: $\frac{15}{(7 — 5x)^2}$ — всегда положительна, так как и числитель, и знаменатель положительные

Значит, равенство невозможное:

$$\text{Отрицательное число} = \text{Положительное число} \quad \text{— невозможно}$$

Ответ (а):

$$\boxed{\text{Таких значений } x\ \text{не существует}}$$

б) $f(x) = \operatorname{ctg} x,\quad g(x) = 2x + 15$

Шаг 1: Найдём производную $f(x) = \cot x$

Из таблицы производных:

$$f'(x) = (\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Шаг 2: Найдём производную $g(x) = 2x + 15$

$$g'(x) = (2x)’ + (15)’ = 2 + 0 = 2$$

Шаг 3: Составим уравнение для производных

$$f'(x) = g'(x) \Rightarrow -\frac{1}{\sin^2 x} = 2$$

Шаг 4: Умножим обе части на $\sin^2 x$

(в области допустимых значений $\sin x \neq 0$):

$$-1 = 2 \sin^2 x$$

Шаг 5: Разделим на 2

$$\sin^2 x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 6: Анализ результата

Квадрат синуса не может быть отрицательным:

$$\sin^2 x \geq 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Следовательно:

$$\sin^2 x = -\frac{1}{2} \quad \text{не имеет решений в } \mathbb{R}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\text{Таких значений } x\ \text{не существует}}$$