ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f'(x) ≤ g'(x), если:

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ и $g(x) = \frac{1}{2}x + 61$;

б) $f(x) = x \cos x$ и $g(x) = \sin x$

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ и $g(x) = \frac{1}{2}x + 61$;

$f'(x) = (\sin x)’ \cos x + \sin x (\cos x)’ = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$;

$g'(x) = \left( \frac{1}{2}x + 61 \right)’ = \frac{1}{2}$;

$f'(x) \leq g'(x)$:

$$\cos 2x \leq \frac{1}{2};$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + \pi n$.

б) $f(x) = x \cos x$ и $g(x) = \sin x$;

$f'(x) = (x)’ \cos x + x (\cos x)’ = \cos x — x \sin x$;

$g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

$f'(x) \leq g'(x)$:

$$\cos x — x \sin x \leq \cos x;$$ $$\cos x — \cos x \leq x \sin x;$$ $$x \sin x \geq 0;$$

Если $x > 0$, тогда:

$$\sin x \geq 0;$$ $$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$$

Если $x < 0$, тогда:

$$\sin x \leq 0;$$ $$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n \leq x \leq \pi + \pi n$; $-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n$.

а)

Заданы функции:

• $f(x) = \sin x \cdot \cos x$
• $g(x) = \dfrac{1}{2}x + 61$

Шаг 1: Найдём производные

f(x):

Это произведение двух функций:
$u(x) = \sin x$, $v(x) = \cos x$

По правилу производной произведения:

$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$ $$f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Это тождество — формула двойного угла:

$$f'(x) = \cos 2x$$

g(x):

$$g(x) = \dfrac{1}{2}x + 61 \Rightarrow g'(x) = \dfrac{1}{2}$$

Шаг 2: Сравниваем производные

$$f'(x) \leq g'(x) \Rightarrow \cos 2x \leq \dfrac{1}{2}$$

Шаг 3: Решим неравенство $\cos 2x \leq \dfrac{1}{2}$

Шаг 3.1: Вспомним поведение косинуса.

• Косинус убывает на $[0, \pi]$, потом возрастает на $[\pi, 2\pi]$, и т.д.
• Значения $\cos \theta \leq \frac{1}{2}$ достигаются на отрезках:

$$\theta \in \left[ \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right]$$

Шаг 4: Подставляем $\theta = 2x$

$$2x \in \left[ \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right]$$

Делим все части неравенства на 2:

$$x \in \left[ \frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{5\pi}{6} + \pi n \right]$$

Ответ к пункту (а):

$$\boxed{f'(x) \leq g'(x) \Leftrightarrow x \in \left[ \frac{\pi}{6} + \pi n,\ \frac{5\pi}{6} + \pi n \right],\ n \in \mathbb{Z}}$$

б)

Даны функции:

• $f(x) = x \cos x$
• $g(x) = \sin x$

Шаг 1: Найдём производные

$f(x) = x \cos x$ — снова произведение:

$$f'(x) = (x)’ \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)’ = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x — x \sin x$$

$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Шаг 2: Сравниваем производные

$$f'(x) \leq g'(x) \Rightarrow \cos x — x \sin x \leq \cos x$$

Вычтем $\cos x$ из обеих частей:

$$\cos x — x \sin x — \cos x \leq 0 \Rightarrow -x \sin x \leq 0 \Rightarrow x \sin x \geq 0$$

Шаг 3: Решим неравенство $x \sin x \geq 0$

Это возможно в двух случаях:

Случай 1: $x > 0 \Rightarrow \sin x \geq 0$

Где $\sin x \geq 0$?

• На интервалах:

$$x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n],\quad n \in \mathbb{Z}$$

Случай 2: $x < 0 \Rightarrow \sin x \leq 0$

Где $\sin x \leq 0$?

• На интервалах:

$$x \in [-\pi + 2\pi n,\ 2\pi n],\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ к пункту (б):

Можно объединить два случая:

$$\boxed{ x \in \left[2\pi n,\ \pi + 2\pi n\right] \cup \left[-\pi + 2\pi n,\ 2\pi n\right],\quad n \in \mathbb{Z} }$$